¿contraejemplo de que la cuantificación universal es el adjunto derecho de la sustitución?

Question

Tengo dos definiciones que parecen equivalentes de las cuantificaciones existenciales y universales como adjuntos a la izquierda y a la derecha de la subsitución [1]. Pero parece que tengo un contraejemplo...

Así que primero para la definición tomar una función $f: A \to B$ entonces esto induce una función o incluso un functor $$ f^{-1}: \mathcal P(B) \to \mathcal P(A)$$ y dos otros funtores de $\mathcal P(A)$ a $\mathcal P(B)$ definido por

• $\exists_f(X) = \{y: \exists x(x \in X \wedge f(x) = y)\}$

• $\forall_f(X) = \{y: \forall x(f(x) = y \implies x \in X)\}$ .

donde el hecho de que sean contiguos a la izquierda y a la derecha viene dado por la ecuación

• $\exists_f(X) \subseteq Y \iff X f^{1}(Y)$

• $f^{1}(Y) \subseteq X \iff Y \forall_f(X)$

Ahora he pensado en tomar un ejemplo sencillo que consiste en dos tipos uno que contiene personas P = {A, E, B} con nombres N = {Adán, , Eva} siendo B un pequeño bebé que aún no tiene nombre. Así que tenemos

f = { Adán A, A, Eva E }

y por lo tanto

$f^{-1}$ ={{} {},
{A} {Adam, }, {E} {Eve}, {B} {},
{A, B} {Adán, }, {B, E} {Eva}, {A,E} {Adán, , Eva},
{A, E, B} {Adam, , Eve} }

$\exists_f$ = {{} {},
{Adam} {A}, {} {A}, {Eve} {E},
{Adán, } {A}, {Adán, Eva} {A, E}, {, Eva} {A, E},
{Adán, , Eva} {A, E}
}

$\forall_f$ = {{} {},
{Adam} {}, {} {}, {Eve} {E},
{Adán, } {A}, {Adán, Eva} {E}, {, Eva} {E},
{Adán, , Eva} {A, E}}

Pero entonces tenemos el siguiente contraejemplo a la adjunción parece. Tomemos la propiedad Male = {A, B}

$f^{-1}$ (Hombre) = {Adam, } {Adam, } $\iff$ Hombre $\forall_f$ {Adam, } = {A}

pero claramente {A, B} {B}

Entonces, ¿en qué me he equivocado?

[1] Llego a esto tras leer el artículo "Categorical Logic and Model Theory" en "Categories for the Working Philosopher" editado por Elaine Landry. https://books.google.co.uk/books?id=RIM8DwAAQBAJ&lpg=PA113&ots=VLJLR-Mn50&lr&pg=PA118#v=onepage&q&f=false La otra se define aquí en Stack Exchange en la respuesta a la pregunta Derecho-adjunto al functor de imagen inversa

Answer 1

No has calculado $\forall_f(\{\mathrm{Adam}, A\delta\alpha\mu\})$ correctamente. $\forall x (f(x) = B \implies x \in X)$ es cierto para cualquier $X$ porque no hay $x$ tal que $f(x) = B$ Así que $B \in \forall_f(X)$ para cualquier $X$ .