Hace un círculo minimizar cuadrático medio de la curvatura en el plano?

Question

Supongamos que tenemos un no-intersección de curva cerrada en el plano de longitud fija 1 con segunda derivada continua. Su cuadrático medio de la curvatura es $$\langle \kappa \rangle = \int_C |\kappa|^2 ds = \int_0^1 \left|\frac{d^2 \textbf{x}(s)}{ds^2}\right|^2 ds,$$ donde la curva parametrizada por arclength.

¿El círculo con la circunferencia de 1 a minimizar esta cantidad a lo largo de todo dos veces continuamente diferenciable curvas cerradas?

Answer 1

Sí, el círculo de do minimizar la integral de la curvatura cuadrática.

Recordar el total absoluto de curvatura de cualquier curva cerrada es, al menos,$2\pi$.
Para cualquier curva cerrada de la longitud de la $1$, tenemos

$$\int_0^1 |\kappa(s)|ds \ge 2\pi$$ Por Cauchy Schwarz, esto lleva a la $$\int_0^1 |\kappa(s)|^2 ds = \left(\int_0^1 |\kappa(s)|^2 ds\right)\left(\int_0^1 ds\right) \ge \left(\int_0^1 |\kappa(s)| ds \right)^2 \ge (2\pi)^2$$ Desde un círculo de unidad circunferencia tiene curvatura constante $2\pi$, su integral de la curvatura squared se toma el menor valor posible $(2\pi)^2$.