¿Cuál es la dimensión del conjunto generado por $z \mapsto z + 1$$z \mapsto \frac{z}{1+z}$?

Question

Digamos que tengo subgrupo de $SL_2(\mathbb{Z})$ generado por dos elementos, que yo quería para calcular el límite establecido. Así que me escribió dos matrices:

$$A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) ,\; B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$$ Estos pueden ser escritos como dos mapas de la fracción de transformaciones lineales o Möbiustransformaciones: $$z \mapsto z + 1\;\text{ and }z\mapsto \frac{z}{1+z}$$ Las parcelas de las órbitas de estos conjuntos fue sorprendente. Yo representaba una fracción $\frac{a}{b} = [a:b] \in \mathbb{R}P^2$ como una línea en el plano Euclidiano.

¿Cuáles son las propiedades básicas de este fractal? E. g. es la dimensión o que no está conectado.

un vistazo más de cerca:

un vistazo más de cerca:

Answer 1

De hecho, el conjunto que he encontrado es en realidad todos los de $SL_2(\mathbb{Z})$, no sólo a un subgrupo, ya que las dos matrices $A$ $B$ generar en el grupo; los puntos que usted ha trazado con el tiempo incluirá todos los puntos en el círculo que están en las líneas de racional pendiente.

La razón por la que encontrar un fractal-como la estructura que es a causa de una interesante semi-universal de la propiedad donde sencillas soluciones de una ecuación, puntos simples en una estructura, etc. "repeler" otros puntos. En este caso, se manifiesta como déficit de alrededor de todos los puntos que están racional de las líneas de $ax+by=0$, con valores pequeños de a$a$$b$; pensaba de otra manera, no son más anchos que los "huecos" en torno a los números racionales $\frac ab$ (en una secuencia de Farey) con pequeño $a$ $b$ que hay en torno a la más complicada de los números.

Para ver un ejemplo de esto en acción, mira en https://en.wikipedia.org/wiki/Farey_sequence#/media/File:Farey_diagram_horizontal_arc_9.svg lo que muestra todos los puntos en la secuencia de Farey de orden 9 (es decir, todos los números racionales $\frac ab$$0\leq\frac ab\leq 1$$b\leq 9$). Tenga en cuenta que la fracción más cercana a$0$$\frac19$, a distancia $\frac19$, y una fracción más cercana a$\frac12$$\frac49$, a distancia $\frac1{18}$; por el contrario, la fracción más cercana a $\frac45$, por ejemplo, es $\frac79$, que es sólo la distancia $\frac1{45}$ lejos de ella!

La distribución de la secuencia de Farey es, sin duda, se entiende bien y mal al mismo tiempo. Se sabe que el orden-$N$ secuencia de Farey $F_N$ $\theta(N^2)$ puntos en ella (de hecho, aproximadamente el $\frac6{\pi^2} N^2$, donde el $\frac6{\pi^2}$ proviene de $\frac1{\zeta(2)}$) y que se aproxima a una distribución uniforme como $N\to\infty$; es también conocido que las diferencias entre los números de rango de $\theta(\frac1N)$ $\theta(\frac1{N^2})$en tamaño. (Por ejemplo, la brecha junto a $\frac12$ es siempre aproximadamente $\frac1{2N}$.) Pero la pregunta de con qué rapidez se aproxima a una distribución uniforme es mucho más complicado:

Supongamos que $f_n$ $n$th fracción en el orden-$N$ secuencia $F_N$, y considerar la distancia entre el $f_n$ y el punto de $\frac n{|F_N|}$ que corresponde a una distribución uniforme con tantos puntos como la secuencia de Farey. Ahora, podemos ver en la 'plaza' tamaño de estas distancias largo de toda la secuencia, $\displaystyle \Delta_N=\sum_{n=1}^{|F_N|}(f_n-\frac n{|F_N|})^2$; esta es una medida total de la discrepancia de la secuencia. Se sabe que $\Delta_N\in o(1)$$N\to\infty$; esta es una manera de formalizar la idea de que la secuencia de Farey se aproxima a una distribución uniforme. Pero, ¿cómo $\Delta_N$ ir a cero como $N\to\infty$? Así, la declaración de que $\Delta_N\in O(N^{-r})$ todos los $r\lt 1$ sería agradable; este dice que $\Delta_N$ es 'esencialmente $1/N$', que es tan bueno como lo que podría esperar. Pero esta afirmación es equivalente a la Hipótesis de Riemann! (Ver la página de la Wikipedia en fracciones de Farey y este MathOverflow pregunta para más información sobre esto)

Answer 2

Es una de las dimensiones del objeto que está conectado y la ruta de acceso conectado. Es unidimensional porque es totalmente puede describir mediante una variable

$$f(\theta) = (\cos(\theta),\sin(\theta))$$

También, definitivamente está conectado, pero la imagen que usted está viendo se ve desconectado sólo porque un equipo que tiene sus límites en la presentación de los datos.