Al $xyz=1$ ¿por qué es $x+y+z\geq3$? ($x,y,z>0$)

Question

Cómo puedo probar la siguiente declaración sin usar la Desigualdad de la aritmética y geométrica medios?

$\forall x,y,z \in F $ (F es un campo ordenado) $(x,y,z>0)$ $xyz=1 \implies x+y+z\geqslant3$

Para el caso de que $x,y,z = 1$ es fácil de entender, pero no puedo entender cómo muchos más casos de $x,y,z$ ,tengo que demostrar que $x+y+z\geqslant3$ de la obra.

Answer 1

Deje $x\geq1$$y\leq1$.

Por lo tanto, $$(x-1)(y-1)\leq0$$ o $$x+y\geq xy+1.$$ Por lo tanto, $$x+y+z\geq xy+1+z$$ y es suficiente para probar $$xy+z\geq2$$ o $$xyz+1-xy-z\leq0$$ o $$(xy-1)(z-1)\leq0,$ $ , que es obvio.

Answer 2

Cauchy/hacia atrás/adelante-atrás de inducción funciona en cualquier ordenó campo:

Empezar con $$2^2ab \leq (a+b)^2$$ and deduce: (forward induction) $$4^4xyzu \leq (x+y+z+u)^4$$ by letting $a = x+y$, $b = z+u$.

A continuación, vamos a $u = \frac{x+y+z}3$ para obtener: (inducción hacia atrás) $$\frac{4^4}3xyz(x+y+z) \leq \left(\frac43\right)^4(x+y+z)^4$$ Finalmente, $x,y,z>0$ $x+y+z>0$ y podemos dividir por: $$3^3xyz \leq (x+y+z)^3$$

Para finalizar, tenga en cuenta que nosotros no podemos tomar raíces cúbicas(*), así que continúe por la contradicción: si $x+y+z<3$, el de arriba te da una contradicción.

---

(*) Bajo la suposición adicional de que $x,y,z$ son cubos, decir $a^3,b^3,c^3$, simplemente podemos utilizar la identidad $$x+y+z-3 = \frac12(a+b+c)\left((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right)\geq0$$

Answer 3

Dado $u=x+y+z$, el uso de multiplicadores de Lagrange: $$L=x+y+z+k(1-xyz)$$ $$\begin{cases} L_x=1-kyz=0 \\ L_y=1-kxz=0 \\ L_z=1-kxy=0 \\ L_k=1-xyz=0 \end{cases} \Rightarrow x=y=z=k=1.$$ Rodeada De Hess: $$\begin{vmatrix} 0 & yz & xz & xy \\ yz & 0 & -kz & -ky \\ xz & -kz & 0 & -kx \\ xy & -ky & -kx & 0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0&1&1&1\\ 1&0&-1&-1\\ 1&-1&0&-1\\ 1&-1&-1&0\end{vmatrix}.$$ $$\bar{H}_1=-1<0; \bar{H}_2=-2<0; \bar{H}_3=-3<0 \Rightarrow u(1,1,1)=3 \ (\text{min}).$$