Puedo calcular el producto a través de los números primos de forma eficiente y con alta precisión?

Question

Quiero calcular el siguiente producto : $$\prod_{p\ prime\ ,\ p\le 10^{10}} 1-\frac{1}{p}$$

Sé que la aproximación de la fórmula $$\frac{e^{-\gamma}}{\ln(10^{10})}$$ where $\gamma$ is the Euler-Mascheroni-constant. The result should be good to $12$ dígitos decimales.

Es allí una manera eficiente (no de fuerza bruta mediante la determinación de todos los números primos, que tiene de largo con PARI/GP) para el cálculo de este producto con alta precisión ?

Answer 1

Llame al producto $P$, y tomar registros se $\log(P)=\sum_{i=1}^n\log(1-1/p_i)=-\sum_{i=1}^n\frac{1}{p_i}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\frac{1}{p^2_i}+...\approx-\sum_{i=1}^n\frac{1}{p_i}-\gamma$

Así que para obtener una buena aproximación, el uso cada vez mejores aproximaciones de $\sum_{i=1}^n\frac{1}{p_i}$. Como un ejemplo, el Meissel Merten constante se define como $M:=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n1/p_i-\ln\ln(n)\approx 0.26149$.

Si usted todavía está recibiendo el error, usted puede mirar en el error de suma finita aproximaciones de $\gamma=\sum_{m=2}^\infty (-1)^m\frac{\zeta(m)}{m}$.