Abra las cubiertas de $\mathbb{R}$

Question

Parece plausible la conjetura de que, dada una enumeración de los números racionales $\{ q_1, q_2, q_3, \ldots \}$ y una secuencia convergente $\{ \epsilon_n \}_{n \in \mathbb{Z^+}} \subseteq \mathbb{R^+}$ tal que $\lim \epsilon_n = 0$ pero $\sum_{n \in \mathbb{Z^+}} \epsilon_n = +\infty$, el conjunto de abrir los intervalos de $\{ (q_n - \epsilon_n, q_n + \epsilon_n) \mid n \in \mathbb{Z^+} \}$ cubre $\mathbb{R}$? Por ejemplo, puede $\mathbb{R}$ será cubierto por $\{ (q_n - \frac{1}{n}, q_n + \frac{1}{n}) \mid n \in \mathbb{Z^+} \}$? Parece como si nos permitir $\lim \epsilon_n \neq 0$, la conjetura podría funcionar...

Answer 1

Yo no lo creo.

Separar el conjunto de índices $\mathbb Z^+$ en dos partes: $N_1 = \{ n \in \mathbb Z^+ : n = 2^k\text{ for some } k \in \mathbb Z^+\}$$N_2 = \mathbb Z^+ \setminus N_1$.

Enumerar los números racionales como sigue: si $n \in N_2$ deje $q_n = n$, y deje $\{q_n\}_{n \in N_1}$ ser arbitraria enumeración de $\mathbb Q \setminus N_2$. Deje $\epsilon_n = \frac 1n$ todos los $n$.

Los intervalos $(n-\frac 1 n,n+ \frac 1n)$, $n \in N_2$, no logran cubrir una porción de la línea que contiene los intervalos de infinita longitud total.

Por otro lado, los intervalos $(q_n - \frac 1n, q_n + \frac 1n)$, $n \in N_1$, puede ser indizado como $(q_{2^k}-\frac 1{2^k},q_{2^k}+ \frac 1{2^k})$, $k \in \mathbb Z^+$, y por lo tanto tienen finito de longitud total. Esto significa que no pueden cubrir todo el primer conjunto de intervalos perdido.