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Abra las cubiertas de R

Parece plausible la conjetura de que, dada una enumeración de los números racionales {q1,q2,q3,} y una secuencia convergente {ϵn}nZ+R+ tal que limϵn=0 pero nZ+ϵn=+, el conjunto de abrir los intervalos de {(qnϵn,qn+ϵn)nZ+} cubre R? Por ejemplo, puede R será cubierto por {(qn1n,qn+1n)nZ+}? Parece como si nos permitir limϵn0, la conjetura podría funcionar...

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Umberto P. Puntos 20047

Yo no lo creo.

Separar el conjunto de índices Z+ en dos partes: N1={nZ+:n=2k for some kZ+}N2=Z+N1.

Enumerar los números racionales como sigue: si nN2 deje qn=n, y deje {qn}nN1 ser arbitraria enumeración de QN2. Deje ϵn=1n todos los n.

Los intervalos (n1n,n+1n), nN2, no logran cubrir una porción de la línea que contiene los intervalos de infinita longitud total.

Por otro lado, los intervalos (qn1n,qn+1n), nN1, puede ser indizado como (q2k12k,q2k+12k), kZ+, y por lo tanto tienen finito de longitud total. Esto significa que no pueden cubrir todo el primer conjunto de intervalos perdido.

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