Parece plausible la conjetura de que, dada una enumeración de los números racionales {q1,q2,q3,…} y una secuencia convergente {ϵn}n∈Z+⊆R+ tal que limϵn=0 pero ∑n∈Z+ϵn=+∞, el conjunto de abrir los intervalos de {(qn−ϵn,qn+ϵn)∣n∈Z+} cubre R? Por ejemplo, puede R será cubierto por {(qn−1n,qn+1n)∣n∈Z+}? Parece como si nos permitir limϵn≠0, la conjetura podría funcionar...
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Yo no lo creo.
Separar el conjunto de índices Z+ en dos partes: N1={n∈Z+:n=2k for some k∈Z+}N2=Z+∖N1.
Enumerar los números racionales como sigue: si n∈N2 deje qn=n, y deje {qn}n∈N1 ser arbitraria enumeración de Q∖N2. Deje ϵn=1n todos los n.
Los intervalos (n−1n,n+1n), n∈N2, no logran cubrir una porción de la línea que contiene los intervalos de infinita longitud total.
Por otro lado, los intervalos (qn−1n,qn+1n), n∈N1, puede ser indizado como (q2k−12k,q2k+12k), k∈Z+, y por lo tanto tienen finito de longitud total. Esto significa que no pueden cubrir todo el primer conjunto de intervalos perdido.