Grupo Fundamental de la 3-variedad con frontera

Question

Es cierto que cualquier finitely presentado el grupo puede ser realizado como grupo fundamental de la compacta 3-manifold con frontera?

Answer 1

No. El Baumslag solitar grupos $\langle a, b | ab^m a^{-1} = b^n \rangle$ no 3-colector de grupos de al $m \neq n$.

Ver

Heil, Wolfgang H. Algunos finitely presentado no$3$-colector de grupos. Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 53 (1975), no. 2, 497--500.

(Véase también Peter Shalen, de Tres Colectores y Baumslag-Solitar grupos Topología De Appl. 110 (2001), 113--118)

Answer 2

Un par de puntos extra.

Cualquier compacto de 3-colector con límite de $M$ puede ser doblado para darle un circuito cerrado 3-colector $D$. Como $M$ es un retractarse de $D$, se deduce que el $\pi_1(M)$ inyecta en $\pi_1(D)$. Por lo tanto, cualquier "veneno subgrupo" (tales como la Baumslag--Solitar grupos que Richard menciona arriba) se aplica igual de bien compacto de 3-variedades cerradas las 3-variedades.

Otras clases de veneno subgrupos pueden ser construidos a partir de cohomological condiciones. El Kneser--Milnor Teorema implica que cualquier cerrada, irreductible 3-colector con infinita grupo fundamental es esférico. De ello se sigue que cualquier libremente indecomposable infinita grupo con cohomologial dimensión mayor que 3 no puede ser un subgrupo de un circuito cerrado 3-colector (y, por tanto, de un compacto de 3-colector, por el párrafo anterior).

EDITAR:

Oh, y, sin embargo, otra fuente de veneno subgrupos viene de Scott del teorema de que el 3-colector de grupos son coherentes, lo que significa que cada finitely generado subgrupo es finitely presentado. Esto descarta subgrupos como $F\times F$ (donde $F$ es un grupo libre), lo cual no es coherente.

Answer 3

Recientemente he oído hablar de un resultado debido a Aitchison y Reeves, que demuestra que cualquier finitely presentado el grupo surge como el grupo fundamental de un 3-dimensional de orbifold (donde el grupo fundamental significa que el topológicos y no la orbifold grupo fundamental). De hecho, dicen que el orbifold puede ser tomado como el cociente de una cerrada orientada hiperbólico 3-colector por un isométrico involución aislado con puntos fijos, todo modelado en $x\mapsto -x$.

(Sin duda soy ningún experto en este tema, de paso en lo que he oído.)