Resolución de la ecuación funcional $f(n^2+m)=f(n+m^2)$

Question

Quiero encontrar todas las funciones $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tal que para todos los números enteros $n,m\in\mathbb{Z}$ ,

$$f(n^2+m)=f(n+m^2).$$

Obviamente, cualquier función constante es una solución y probablemente no haya más soluciones (aunque no estoy completamente seguro de ello). Por desgracia, no sé cómo resolver el problema anterior y me gustaría pedirle que me ayude.

Obviamente, la función tiene que ser una función par (poner por ejemplo $m=0$ ). He probado algunas sustituciones más para obtener más información. Por ejemplo, poniendo $n=\pm 1$ donne $f(m^2-1)=f(m^2+1)$ para todos $m\in\mathbb{Z}$ . etc.

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

La respuesta es $$f(x) = \begin{cases} a; & x \text{ odd}\\ b; & x \text{ even} \end{cases},$$ donde $a, b$ son constantes.

En primer lugar para verificar que tales $f$ cumplen la condición. Para cualquier $m, n \in \mathbb{Z}$ porque $m^2 \equiv m \pmod{2}$ y $n^2 \equiv n \pmod{2}$ entonces $m^2 + n$ y $m + n^2$ son ambos Impares o ambos pares. Por lo tanto $f(m^2 + n) = a = f(m + n^2)$ o $f(m^2 + n) = b = f(m + n^2)$ .

A continuación, supongamos $f$ es cualquier función que cumpla la condición. Para cualquier $x \in \mathbb{Z}$ Toma $(m, n) = (x, 0)$ entonces $f(x) = f(x^2)$ lo que implica también $f(-x) = f(x^2) = f(x)$ . Ahora toma $(m, n) = (x - 1, 1)$ entonces $f(x) = f(x^2 - 2x + 2)$ . Toma $(m, n) = (-x + 1, 1)$ entonces $f(-x + 2) = f(x^2 - 2x + 2)$ . Por lo tanto, $$f(x) = f(-x + 2) = f(x - 2). \quad \forall x \in \mathbb{Z}$$

Answer 2

Otra forma de llegar a la respuesta de Alex Francisco:

Escriba a $n\equiv m$ si $f(n)=f(m)$ es una consecuencia de las condiciones del problema.

Entonces se ve fácilmente que $n^2-a\equiv n^2+a$ para cualquier número entero $n$ y $a$ . En otras palabras, un número entero y su simétrico sobre $n^2$ son siempre equivalentes.

Ahora toma cualquier $n$ y realizar la simetría sobre $1=1^2$ seguida de la simetría en torno a $0=0^2$ . El resultado es $n-2$ . Por lo tanto $f(n)=f(n-2)$ para cualquier número entero $n$ .