Muchos años atrás en la escuela secundaria me pasó a tropezar con la siguiente propiedad que parece funcionar para cualquier triángulo acutángulo:
CDCD BEBE son altitudes, los arcos son semicírculos de diámetros ABAB ACAC respectivamente.
La propiedad es AF=AGAF=AG
Prueba:
Deje HH ser el punto medio de la ABAB (y el centro de la respectiva semicírculo) AG2=AD2+GD2=(AC⋅cos∠A)2+GD2AG2=AD2+GD2=(AC⋅cos∠A)2+GD2 Desde HG=AH=AB2HG=AH=AB2 es el radio del semicírculo GD2=HG2−HD2=(AB2)2−(AB2−AC⋅cos∠A)2==AB⋅AC⋅cos∠A−(AC⋅cos∠A)2
lo que da AG2=AB⋅AC⋅cos∠A
De forma análoga (I es el punto medio de la AC)
AF2=AE2+FE2=(AB⋅cos∠A)2+FE2
FE2=FI2−EI2=(AC2)2−(AB⋅cos∠A−AC2)2==AC⋅AB⋅cos∠A−(AB⋅cos∠A)2
que finalmente da
AF2=AC⋅AB⋅cos∠A
Preguntas:
- Es este un conocido de la propiedad?
- Hay un mejor y más elegante de la prueba?