11 votos

Una curiosa propiedad de un triángulo acutángulo, ABCABC. CDCD y BEBE son altitudes...

Muchos años atrás en la escuela secundaria me pasó a tropezar con la siguiente propiedad que parece funcionar para cualquier triángulo acutángulo:

enter image description here

CDCD BEBE son altitudes, los arcos son semicírculos de diámetros ABAB ACAC respectivamente.

La propiedad es AF=AGAF=AG

Prueba:

Deje HH ser el punto medio de la ABAB (y el centro de la respectiva semicírculo) AG2=AD2+GD2=(ACcosA)2+GD2AG2=AD2+GD2=(ACcosA)2+GD2 Desde HG=AH=AB2HG=AH=AB2 es el radio del semicírculo GD2=HG2HD2=(AB2)2(AB2ACcosA)2==ABACcosA(ACcosA)2

lo que da AG2=ABACcosA

enter image description here

De forma análoga (I es el punto medio de la AC) AF2=AE2+FE2=(ABcosA)2+FE2 FE2=FI2EI2=(AC2)2(ABcosAAC2)2==ACABcosA(ABcosA)2 que finalmente da AF2=ACABcosA enter image description here

Preguntas:

  1. Es este un conocido de la propiedad?
  2. Hay un mejor y más elegante de la prueba?

3voto

orangeskid Puntos 13528

SUGERENCIA:

AF2=AEACAG2=ADABAEAC=ADAB

1voto

David Quinn Puntos 7591

Esta es, posiblemente, otra prueba similar, pero aquí va de todos modos...

Deje que el triángulo de ser designado en la forma habitual, por lo AC=bAB=c, y dejar que el ángulo de FAC=θ

A continuación, AF=bcosθ FE=AFsinθ=bsinθcosθ EC=FEtanθ=bsin2θ Pero EC=bccosA=bsin2θ bcos2θ=ccosA AF=bccosA

Para obtener AG sólo necesitamos exchangebc, por lo que el resultado de la siguiente manera.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X