Una curiosa propiedad de un triángulo acutángulo, $\triangle ABC$. $\;CD$ y $BE$ son altitudes...

Question

Muchos años atrás en la escuela secundaria me pasó a tropezar con la siguiente propiedad que parece funcionar para cualquier triángulo acutángulo:

$CD$ $BE$ son altitudes, los arcos son semicírculos de diámetros $AB$ $AC$ respectivamente.

La propiedad es $AF = AG$

Prueba:

Deje $H$ ser el punto medio de la $AB$ (y el centro de la respectiva semicírculo) $$AG^2 = AD^2 + GD^2 = \left(AC\cdot \cos\angle A\right)^2 + GD^2$$ Desde $HG = AH = \frac{AB}{2}$ es el radio del semicírculo $$GD^2 = HG^2 - HD^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 - \left(\frac{AB}{2} - AC\cdot\cos\angle A\right)^2 = \\ = AB\cdot AC\cdot \cos\angle A - \left(AC\cdot\cos\angle A\right)^2$$

lo que da $$AG^2 = AB\cdot AC\cdot \cos\angle A$$

De forma análoga ($I$ es el punto medio de la $AC$) $$AF^2 = AE^2 + FE^2 = \left(AB\cdot \cos\angle A\right)^2 + FE^2$$ $$FE^2 = FI^2 - EI^2 = \left(\frac{AC}{2}\right)^2 - \left(AB\cdot \cos\angle A - \frac{AC}{2}\right)^2 = \\ = AC\cdot AB\cdot \cos\angle A - \left(AB\cdot \cos\angle A\right)^2$$ que finalmente da $$AF^2 = AC\cdot AB\cdot \cos\angle A$$

Preguntas:

1. Es este un conocido de la propiedad?
2. Hay un mejor y más elegante de la prueba?

Answer 1

SUGERENCIA:

$$AF^2 = AE \cdot AC\\ AG^2 = AD \cdot AB \\ AE \cdot AC = AD \cdot AB$$

Answer 2

Esta es, posiblemente, otra prueba similar, pero aquí va de todos modos...

Deje que el triángulo de ser designado en la forma habitual, por lo $AC=b$$AB=c$, y dejar que el ángulo de $FAC=\theta$

A continuación, $$AF=b\cos\theta$$ $$\implies FE=AF\sin\theta=b\sin\theta\cos\theta$$ $$\implies EC=FE\tan\theta=b\sin^2\theta$$ Pero $$EC=b-c\cos A=b\sin^2\theta$$ $$\implies b\cos^2\theta=c\cos A$$ $$\implies AF=\sqrt{bc \cos A}$$

Para obtener $AG$ sólo necesitamos exchange$b$$c$, por lo que el resultado de la siguiente manera.