Muchos años atrás en la escuela secundaria me pasó a tropezar con la siguiente propiedad que parece funcionar para cualquier triángulo acutángulo:
$CD$ $BE$ son altitudes, los arcos son semicírculos de diámetros $AB$ $AC$ respectivamente.
La propiedad es $AF = AG$
Prueba:
Deje $H$ ser el punto medio de la $AB$ (y el centro de la respectiva semicírculo) $$AG^2 = AD^2 + GD^2 = \left(AC\cdot \cos\angle A\right)^2 + GD^2$$ Desde $HG = AH = \frac{AB}{2}$ es el radio del semicírculo $$GD^2 = HG^2 - HD^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 - \left(\frac{AB}{2} - AC\cdot\cos\angle A\right)^2 = \\ = AB\cdot AC\cdot \cos\angle A - \left(AC\cdot\cos\angle A\right)^2$$
lo que da $$AG^2 = AB\cdot AC\cdot \cos\angle A$$
De forma análoga ($I$ es el punto medio de la $AC$)
$$AF^2 = AE^2 + FE^2 = \left(AB\cdot \cos\angle A\right)^2 + FE^2$$
$$FE^2 = FI^2 - EI^2 = \left(\frac{AC}{2}\right)^2 - \left(AB\cdot \cos\angle A - \frac{AC}{2}\right)^2 = \\ = AC\cdot AB\cdot \cos\angle A - \left(AB\cdot \cos\angle A\right)^2$$
que finalmente da
$$AF^2 = AC\cdot AB\cdot \cos\angle A$$
Preguntas:
- Es este un conocido de la propiedad?
- Hay un mejor y más elegante de la prueba?
