Tercer grado de la serie de Taylor de $f(x) = e^x \cos{x} $

Question

Supongamos que tenemos la función: $$f(x) = e^x \cos{x} $$ y usted necesita para encontrar el 3er grado en Series de Taylor de la representación. El camino me ha enseñado a hacer esto es para expresar cada función por separado como una potencia de la serie y se multiplican a medida que sea necesario para el 3er grado. Por ejemplo, para $$ \cos x =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{ x^{2n}}{(2n)!} = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots \text{ and } e^x =\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}+\cdots $$ multiplicar los términos de la derecha de cada uno hasta obtener el 3er grado.

Lógicamente, yo soy feliz. Sin embargo, no he visto un teorema o una regla que dice que usted puede simplemente multiplique la serie de esta manera. Haciéndolo de esta manera, hay una garantía de que siempre voy a conseguir el poder de la serie representación de $f(x)$?

Además, si en lugar de multiplicar, las funciones que se agregaron? Sería por encima de la verdad - tomar la serie de cada función y se suman los términos necesarios?

Answer 1

Taylor teorema permite el uso de la Grande O la notación: $$\cos(x)= 1-\frac{x^2}{2!}+O(x^4)\quad\mbox{and}\quad e^x=1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}+O(x^4).$$ Por lo tanto $$e^x\cos(x)=1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}+O(x^4)-\frac{x^2}{2!}(1+x+O(x^2))=1+x-\frac{x^3}{3}+O(x^4).$$

Answer 2

Alternativamente, usted puede ampliar directamente la función dada $f(x)=e^x\cos x$ a la serie de Taylor: $$\begin{align}f(0)=&1 \\ f'(x)=e^x\cos x-e^x\sin x \Rightarrow f'(0)=&1;\\ f''(x)=-2e^x\sin x \Rightarrow f''(0)=&0; \\ f'''(x)=-2e^x\sin x-2e^x\cos x \Rightarrow f'''(0)=&-2;\\ f^{(4)}=-4e^x\cos x \Rightarrow f''(0)=&-4 \end{align}$$ Por lo tanto: $$\begin{align}e^x\cos x=&1+\frac{1}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+\frac{-2}{3!}x^3+\frac{-4}{4!}x^4+O(x^5)=\\ =&1+x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{6}+O(x^5).\end{align}$$

Answer 3

Usted puede utilizar la parte real de la $e^{(1+i)x}$. Como los poderes de $1+i$ $$1,1+i,2i,-2+2i,-4,-4-4i,-8i\cdots$$ escribir inmediatamente $$e^x\cos x= 1+x-\frac{x^3}3-\frac{x^4}6-\frac{x^5}{30}+\cdots$$

---

El uso de la polar forma, el término general es

$$\frac{(1+i)^n}{n!}x^n=\frac{\sqrt2^n\cos\frac{n\pi}{4}}{n!}x^n.$$

Answer 4

$\begin{array}\\ f(x) &= e^x \cos{x}\\ &= e^x Re(e^{ix})\\ &= Re(e^{x+ix})\\ &= Re(e^{x(1+i)})\\ &= Re(\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n(1+i)^n}{n!})\\ &= Re(\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{2^{n/2}x^ne^{i\pi n/4}}{n!})\\ &= Re(\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{2^{n/2}x^n(\cos(\pi n/4)+i\sin(\pi n/4))}{n!})\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{2^{n/2}x^n\cos(\pi n/4)}{n!}\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{2^{n/2}x^n[1, 1/\sqrt{2}, 0, -1/\sqrt{2}, -1, -1/\sqrt{2}, 0, 1/\sqrt{2}]}{n!}\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{2^{\lfloor n/2 \rfloor}x^n[1, 1, 0, -1, -1, -1, 0, 1]}{n!}\\ &=1+x+0x^2-2x^3/6-4x^4/24-4x^5/120+...\\ &=1+x-x^3/3-x^4/6-x^5/30+...\\ \end{matriz} $

Answer 5

Sobre el producto de la serie de Taylor.

En el desarrollo del producto

$$f(x)g(x)=\left(\sum_n\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\right)\left(\sum_m\frac{g^{(m)}(0)}{m!}x^m\right)=\sum_n\sum_m\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\frac{g^{(m)}(0)}{m!}x^{n+m},$$

los términos de grado $n+m=d$ pueden ser agrupados como

$$\sum_{n+m=d}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\frac{g^{(m)}(0)}{m.}x^{d} =\sum_{n}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\frac{g^{(d-n)}(0)}{(d-n)!}x^{d} =\sum_{n}\binom dnf^{(n)}(0)g^{(d-n)}(0)\frac{x^{d}}{d}.$$

Compare esto con la de Leibniz, producto de la regla:

$$(f(x)g(x))^{(d)}=\sum_n\binom dnf^{(n)}(x)g^{(d-n)}(x)$$

y obtener

$$\left.\left(f(x)g(x)\right)^{(d)}\right|_{x=0}\frac{x^{d}}{d!}.$$