Determinar si el ARMA(p,q) es estacionario y/o invertible?

Question

Determinar si un ARMA(p,q) el proceso es estacionario e invertible tales que $y_t = \sum_{i=1}^{p} \phi_i y_{t-i} + \sum_{i=1}^{p} \theta_{i} \epsilon_{t-i}$ with the restriction that $\theta_{0} = 1$

Yo no estoy familiarizado con la determinación de esta, esta es mi mejor foto con el conocimiento que tengo:

Conjunto de lag operadores: $\epsilon_{t-i} = L_1^i \epsilon_{t}$, e $y_{t-i} = L^{i}_{2} y_{t}$

$y_t - y_t \sum_{i=1}^{p} \phi_i L_1^i = y_t(1 - \sum_{i=1}^{p} \phi_i L_1^i) = \epsilon_{t} \sum_{i=1}^{p} \theta_{i} L_2^i$

Supongo que esto es estacionaria, ya que las raíces de $1 - \sum_{i=1}^{p} \phi_i L_1^i$ puede estar fuera del círculo unidad. ¿Qué acerca de la $\sum_{i=1}^{p} \theta_{i} L_2^i$ ? Eso quiere decir que sea invertible? Yo supongo y digo que sí, porque si $\sum_{i=1}^{p} \theta_i$ es menor que cero, entonces las raíces deben estar fuera del círculo unidad así. Es esto correcto?

También sería bueno tener más información sobre esto en general - ¿alguien sabe de un recurso que va sobre la determinación de si un ARMA/AR/MA proceso es estacionario o invertible?

Answer 1

Si establece $\Phi(z)=1-\phi_1z-\phi_2z^2-\cdots-\phi_pz^p$$\Theta(z)=1+\theta_1z+\cdots+\theta_qz^q$, entonces el proceso puede ser escrito como $$ \Phi(L)y_t=\Theta(L)\epsilon_t.\la etiqueta{$*$} $$ Nota: estoy asumiendo que usted tiene un error tipográfico en el que la suma de $\sum_{i=1}^p\theta_i\epsilon_{t-i}$, como se ha escrito, y debe comenzar con $i=0$ y debe terminar con $q$. Y $L$ aquí denota el lag del operador con el que al menos puede subir cualquier integral poderes pero, en este caso simple, no debería ser añadido con un subíndice como usted lo ha hecho.

En general, $X_t$ es estacionaria si $\Phi(z)$ tiene sus raíces fuera del círculo unidad y $X_t$ es invertible si $\Theta(z)$ tiene sus raíces fuera del círculo unidad.

Un estándar de referencia para el general de los resultados como este es Hamilton (1994).