¿Por qué el paréntesis antes de los exponentes no se aplica al cuadrado de un binomio?

Question

Esta debe ser una pregunta estúpida con una respuesta obvia que se me oculta. Nadie que haya encontrado menciona siquiera un conflicto.

digamos que quiero encontrar el cuadrado $(2 + 3)^2 = 2^2 + 2\times2\times3 + 3^2$

¿Por qué no simplifico primero? ¿Primero los paréntesis?

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Aclarar para futuras vistas. La principal confusión era por qué el problema anterior siempre (en mi limitada experiencia) se resuelve de una manera en la situación A y de otra en la situación B...Z sin que se señale nunca por qué se prefiere el método utilizado para la situación dada (de nuevo en mi limitada experiencia).

Gracias por la aclaración. Creo que ahora lo entiendo. En algunos casos es arbitrario porque el orden está divorciado de la salida.

En algunos casos tienes una variable que no puedes sumar o restar para simplificar, así que debes usar la propiedad distributiva.

Supongo que también puede no simplificar para mostrar el patrón trinomial de la salida producida por la propiedad distributiva (en una situación pedagógica).

Answer 1

Parece que confundes el precedencia de operaciones, que describen cómo interpretar una expresión (y por tanto qué transformaciones son realmente válidas), con el orden en el que aplicar transformaciones válidas a una expresión.

Para su fórmula específica, $(2+3)^2$ Las reglas de precedencia dicen que los paréntesis anulan las precedencias implícitas que de otro modo habrían estado en vigor. Es decir, las reglas de precedencia dicen que la expresión significa que la suma $2+3$ se lleva a la segunda potencia (es decir, al cuadrado), a diferencia de $2+3^2$ lo que significaría que $2$ y el cuadrado de $3$ se añadiría.

Sin embargo, las reglas de precedencia no dicen que hay que calcular primero el término entre paréntesis (aunque en este caso especial, es la opción más económica). Tienes dos transformaciones válidas que puedes aplicar (bueno, en realidad hay muchas más, pero las otras sólo complicarían el problema):

• Puedes hacer la suma primero: es una subexpresión $2+3$ que se puede sustituir por $5$ porque $2+3=5$ . Al hacerlo, obtendrá $(2+3)^2 = 5^2$ . Entonces puedes continuar utilizando el hecho de que $5^2=25$ para llegar finalmente al resultado $(2+3)^2 = 25$ .

• Puedes hacer primero el cuadrado: Como es el cuadrado de una suma, puedes usar la fórmula binomial para obtener $(2+3)^2 = 2^2 + 2\cdot 2\cdot 3 + 3^2$ . De nuevo, puede seguir encontrando $2^2+2\cdot 2\cdot 3 + 3^2 = 4 + 12 + 9 = 25$ . El resultado vuelve a ser el mismo, como por supuesto tiene que ser.

Sin embargo, lo que no puede hacer es reemplazar primero $3^2=9$ porque la expresión original no contiene la subexpresión $3^2$ . Por supuesto, después de aplicar la fórmula binomial, aparece una subexpresión de esa forma, que luego se puede sustituir por $9$ .

Del mismo modo, en $2+4\cdot 5$ las reglas de precedencia dicen que esto es lo mismo que $2+(4\cdot 5)$ y por lo tanto hay una subexpresión $4\cdot 5$ que se puede sustituir por $20$ pero no hay ninguna subexpresión $2+4$ que podría ser sustituido por $6$ . Sin embargo, en principio se podría escribir primero $2=2\cdot 1$ y $4=2\cdot 2$ y luego utilizar la ley distributiva para obtener $2\cdot 1 + 2\cdot 2\cdot 5 = 2\cdot (1+2\cdot 5) = 2\cdot 11 = 22$ y, de nuevo, se obtiene, necesariamente, el mismo resultado que cuando se simplifica en orden de precedencia, $2+4\cdot 5 = 2 + 20 = 22$ . Sin embargo, si se equivoca en la precedencia y empieza por sustituir la no-sub-expresión $2+4$ con $6$ , llegarías a $6\cdot 5 = 30\ne 22$ , lo cual es un resultado erróneo.

Tenga en cuenta que, aunque en los casos anteriores, aplicar las operaciones en orden de precedencia es lo más eficiente, no siempre es así. De hecho, puede haber casos en los que ir primero a una expresión más complicada simplifica el cálculo completo. Como ejemplo, considere la expresión $999^2$ . Aunque se puede calcular directamente como $999\cdot 999$ utilizando el algoritmo de multiplicación estándar, es mucho más fácil dividirlo primero en una diferencia y aplicar la fórmula binomial: $$999^2 = (1000-1)^2 = 1000^2 - 2\cdot 1000\cdot 1 + 1^2 = 1\,000\,000 - 2000 + 1 = 998\,001$$ Esto es posible porque cada paso individual es una operación válida; nótese cómo la sustitución de $999$ por $1000-1$ requiere la adición de paréntesis debido a las reglas de precedencia (sustituimos el expresión $999$ por el expresión $1000-1$ pero sin los paréntesis obtendríamos $1000-1^2$ que ni siquiera contiene la subexpresión $1000-1$ ). También hay que tener en cuenta que el primer paso sería inútil si luego procediéramos a hacer la suma entre paréntesis primero, ya que sólo llegaríamos al punto de partida de nuevo.

Answer 2

Como regla general, puedes hacer lo que quieras en cualquier orden siempre que cada paso sea una operación válida.

Sustitución de $2+3$ por $5$ está ciertamente bien.

Expandir una expresión $(a+b)^2$ como $a^2+2ab+b^2$ también es correcto.

Haz lo que quieras.

Answer 3

Esta es una muy buena pregunta.

Hay algunos estándares convenios para el orden de las operaciones - por ejemplo, cuando se ve $2 + 3 \times 4$ primero se hace la multiplicación. Esta convención no es realmente una parte de la aritmética, es sólo una forma acordada de escribir el cálculo que evita tener que escribir todos los pares de paréntesis.

Si no tuviéramos la convención tendrías que escribir exactamente lo que quieres decir: $2 + (3 \times 4)$ . De todos modos, siempre puedes hacerlo - no tiene que depender de la convención. Utilice tantos paréntesis "extra" como desee. (A veces es una buena idea cuando estás escribiendo un programa de ordenador y no estás seguro de que el ordenador siga las mismas convenciones que tú).

Todo lo que esté rodeado por un par de paréntesis se evalúa como un cálculo independiente. Piensa en los paréntesis como un círculo que rodea la expresión, simplemente cortada para que no interfiera con las líneas que están por encima y por debajo en la página.

En esta pregunta en particular probablemente se confunde con (el horriblemente feo) PEMDAS, que pone la P antes de la E. Así que en $(2+3)^2$ se evalúa primero la suma en el paréntesis. Y necesitas esos paréntesis, porque PEMDAS dice $2+3^2$ es $2+3\times3 = 11$ .

Pero cuando se reescribe $(2+3)^2$ como $(2+3) \times (2+3)$ ya no hay exponente. Ya sabes que la respuesta es $5 \times 5$ . Pero hay otra forma de llegar allí que implica matemáticas reales, no sólo una convención. Es la ley distributiva que te dice cómo se combinan la multiplicación y la suma: $$ a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c). $$ (Lo escribí con todos los paréntesis, no me basé en PEMDAS). Usando la ley distributiva dos veces (y la ley conmutativa también): $$ \begin{align} (2+3) \times (2+3) & = (2+3) \times 2 + (2+3) \times 3 \\ & = 2 \times 2 + 3 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 3 \\ & = \text{and so on} \end{align} $$

(Aquí me basé en la convención de "multiplicar antes de sumar" y y he omitido los paréntesis adicionales).

Puede que reconozcas ese cálculo como (la horrible y fea abreviatura) FOIL - que no es más que un mnemotécnico para la ley distributiva dos veces.

Answer 4

Si estoy entendiendo bien su pregunta, entonces tome nota:

$(2+3)^2 = (5)^2=25 $

$(2+3)^2 = 2^2+2\cdot 2\cdot 3+3^2=4+12+9 = 25$

Puedes expandir los paréntesis, o simplificar el contenido de los paréntesis y luego elevarlo al cuadrado y obtener la misma respuesta por ambos métodos, si es lo que quieres decir.

Answer 5

Por las reglas de precedencia, calculamos $$ (2+3)^2 = 5^2 = 25.$$ Por las mismas reglas, calculamos $$2^2+2\cdot 2\cdot 3+3^2=4+12+9=25. $$ El hecho mismo de que ambos cómputos produzcan el mismo resultado nos justifica para anotar el interesante hecho $$ (2+3)^2=2^2+2\cdot 2\cdot 3+3^2.$$