Artículos sobre la "Propiedad encontré" y otros tipos de Centros (excluyendo el Centroide)?

Question

Estoy en el primer año de los estudiantes de pregrado. Se me ocurrió una especie de centro de propiedad que no puedo encontrar en los artículos en línea. Me encontré con el centro por mi cuenta, pero necesitaba la ayuda de matemáticos (@Rahul) en este sitio.

En la actualidad estoy seguro de si se aplica para los no-star o curvas abiertas. Por ahora, me estoy limitando el alcance de la definición.

Edit: La función de $\overline{r}(x,y)$ puede tener más de una máxima. Otra posibilidad es tomar el promedio de los valores máximos. Por lo tanto los siguientes no es un centro , sino una propiedad.

Sin embargo, me gustaría saber de otros posibles centros.

Supongamos que la curva en forma de estrella con respecto a este centroel punto(s) $\mathbf{p}$ , de modo que cualquier rayo que emana de $\mathbf p$ cumple la curva exactamente una vez, a punto de decir $\mathbf q$. Entonces $i = \|\mathbf q - \mathbf p\|$, $\theta$ is the angle between $\mathbf q-\mathbf p$ y el $x$-eje, $\overline{r}(x,y)$ es el promedio de la radio $$\overline{r}(x,y)=\frac1{2\pi}\oint_{\mathbf q\in\mathcal C}\|\mathbf q-\mathbf p\|\,\mathrm d\theta.$$

y $\mathbf{p}$ maximizar es el promedio de puntos de la maximización de la son los puntos de la maximización de la $\overline{r}$.

(Muy bien, esta integral también puede ser calculada para no star en forma de curvas; por un rayo que cumple con la curva varias veces, se suma a tomar la longitud total de todos los segmentos que se encuentran en el interior de la curva.)

Tenga en cuenta que "este centro de propiedad" no es el centro de gravedad. Esto puede ser mostrado en Mathematica (gracias a @Rahul)

El centro se calcula mediante la discretización, la Distancia Euclídea y Sumas.

curve = DiscretizeRegion[
  ImplicitRegion[
   S1[x, y] == 1, {{x, -3, 3}, {y, -4, 4}}], {{-3, 3}, {-4, 4}}, 
  AccuracyGoal -> 8]
q = MeshCoordinates[curve];
edges = First /@ MeshCells[curve, 1];
signedAngle[a_, b_] := Arg[(Complex @@ a)/(Complex @@ b)]
avgRadius[p_] := 
 1/(2 \[Pi]) Abs[Sum[Module[{q1, q2, r, d\[Theta]}, q1 = q[[First@e]];
     q2 = q[[Last@e]];
     r = EuclideanDistance[p, (q1 + q2)/2];(*midpoint approximation*)
     d\[Theta] = signedAngle[q1 - p, q2 - p];
     r d\[Theta]], {e, edges}]]
s = FindMaximum[avgRadius[{x, y}], {{x, 0}, {y, 0}}]

El centro de gravedad, que es bien conocido, puede ser fácilmente calculada usando RegionCentroid

J = RegionCentroid[
  DiscretizeRegion[
   ImplicitRegion[
    S1[x, y] == 1, {{x, -3, 3}, {y, -4, 4}}], {{-3, 3}, {-3, 3}}, 
   AccuracyGoal -> 8]]

He trazado $\mathbf{p}$, el maximas y la curva. Los puntos rojos reprsent las maximas, el punto azul representa $\mathbf{p}$ y el punto negro representa el centroide.

Show[ContourPlot[S1[x, y] == 1, {x, -4, 4}, {y, -4, 4}], 
 Graphics[{PointSize {Medium}, Blue, 
   Point[{x /. s[[2, 1]],  y /. s[[2, 2]]}]}], 
 Graphics[{PointSize {Medium}, Black, Point[{J[[1]], J[[2]]}]}]]

Aquí están algunos ejemplos. Yo soy incapaz de resolver mi centro en forma cerrada.

$2x^2+2y^2+7y\sin{(xy)} + 7x\sin{(x)}=1$

$x^2 + x + y^2 + y + \sin(xy) + \sin(3xy)=4$

$(x^2+y^2-1)^2+.415x=.4$

$81y^2-x^4\left(9-x^2\right)=4$

Pros y Contras de "El Centro de la Propiedad"

Pros:

• Su razonable
• Cerca del centroide si en forma de estrella
• Dentro de los límites de la curva de
• Conduce a interesantes problemas en relación con la maxima de $\overline{r}(x,y)$

Contras:

• Tedioso para resolver matemáticamente. Rara vez tiene una forma cerrada. Rara vez se tiene una solución elegante.
• Si la curva es de 2-d, incluso si $\overline{r}$ es exacta, usted debe encontrar la maxima de $\overline{r}(x,y)$ en 3-d de Coordenadas
• Si la curva es de 3-d, usted debe encontrar la maxima de $\overline{r}(x,y,z)$ en 4-d de Coordenadas.

Hipótesis No Comprobadas

1. Si la curva tiene forma de estrella y cerró $\overline{r}$ tiene una maxima
2. Si la curva tiene forma de estrella y cerrado, $\mathbf{p}$ permanece en el interior.
3. Si la curva tiene forma de estrella y cerró un $\mathbf{p}$ existe
4. La proximidad del centro de gravedad y la "propiedad" determina la distribución uniforme de la forma cerrada.

---

En conclusión, tengo las siguientes preguntas?

Hay otros centros excluyendo el centro de gravedad?

Es "mi propiedad" de nuevo? Puede ser aplicado en matemáticas teóricas? Matemáticas aplicadas? La física?

Por último, si usted está intereseted, lo uso para la investigación. Yo soy demasiado joven para "analizar".

Answer 1

Yo siento que esta respuesta es bastante escueto. No tengo tiempo para explicarlo con más detalle, pero he marcado wiki de la comunidad en caso de que alguien más está interesado en la expansión de la misma (y la adición de algunos diagramas, lo que ayudaría).

Deje $\mathbf x$ ser un punto de la curva, $\mathbf r = \mathbf x-\mathbf p$ ser el vector de$\mathbf p$$\mathbf x$, e $\phi$ ser el ángulo entre el $\mathbf r$ y la curva normal $\mathbf n$ (es decir, el vector unitario perpendicular a la tangente). Uno puede mostrar mediante el dibujo de un pequeño diagrama que $$\|\mathbf r\|\mathrm d\theta = \mathrm d\ell\cos\phi = \left(\frac{\mathbf r}{\|\mathbf r\|}\cdot\mathbf n\right)\mathrm d\ell.$$ Por lo tanto, la integral es igual a $$\bar r(\mathbf p) = \oint \|\mathbf r\|\,\mathrm d\theta = \oint \frac{\mathbf r}{\|\mathbf r\|}\cdot\mathbf n\,\mathrm d\ell,$$ y por el teorema de la divergencia es igual a este $$\bar r(\mathbf p) = \iint\left(\nabla\cdot\frac{\mathbf r}{\|\mathbf r\|}\right)\mathrm dA = \iint\frac1{\|\mathbf r\|}\,\mathrm dA$$ donde la integral se toma sobre el área encerrada por la curva. En otras palabras, $\bar r(\mathbf p)$ es la convolución de la función de indicador de la zona interior de la curva con el kernel $1/\|\mathbf r\|$.

Este hecho hace que sea fácil construir un contraejemplo a la hipótesis 1: Considere la posibilidad de una pesa en forma de curva, que encierra dos de la unidad de discos centrado en $(-2,0)$ $(2,0)$ conectadas por un estrecho camino. Uno puede comprobar numéricamente que hay dos maxima, que se encuentra en el interior de los dos discos. También debería ser posible construir un contraejemplo a la hipótesis 2 mediante la consideración de un solo disco con un largo y fino corte de la muesca de ella, de modo que el centro está dentro de la categoría y por lo tanto fuera de la curva.