Buscar la Generación de la Función con respecto a n

Question

El siguiente es un problema desde el Capítulo 2 de Herbert Wilf del generatingfunctionology:

Deje $S$ $T$ ser fijo de dos conjuntos de números enteros no negativos. Deje $f(n,k,S,T)$ denotar el número de ordenadas representaciones de $n$ como una suma de $k$ enteros elegido de $T$, cada ser elegido con la multiplicidad que pertenece a $S$. Encontrar $\sum_{n}f(n,k,S,T)x^n$.

Creo que la respuesta sea: $$[y^k]\prod_{t\in T} (\sum_{s\in S} y^s x^{st}).$$

Sin embargo, en la parte de atrás del libro donde nos ofrece soluciones, afirma que es más bien la siguiente: $$\left[\frac{y^k}{k!}\right]\prod_{t\in T}\left(\sum_{s\in S} \frac{y^sx^{st}}{s!}\right)$$ ¿Alguien puede explicarme por qué este es el caso? Por mi entendimiento, exponenciales funciones de generación son más convenientes para el etiquetado de las estructuras, pero estoy teniendo dificultades para ver por qué, y si este es el caso aquí.

Gracias

Answer 1

Su respuesta cuenta desordenada de las representaciones; la pregunta era para ordenó representaciones.

De cuántas maneras existen para ordenar un conjunto múltiple de $k$ elementos con multiplicidades $s_1,s_2,\cdots$? Usted debe ser capaz de recuento $k!/(s_1!s_2!\cdots)$ ordenamientos, lo que conduce a la respuesta deseada.