$99$ derivada de $\sin x$

Question

¿Puede alguien ayudarme a calcular el $99$ derivada de $\sin(x)$ ?

Calcule $f^{(99)}(x) $ para la función $f(x) = \sin(x) $

Answer 1

Aviso $f(x) = \sin x$

$f'(x) = \cos x = \sin( x + \frac{\pi}{2}) $

$f''(x) = - \sin x = \sin( x + \pi) = \sin( x + 2 (\frac{\pi}{2})) $

$f'''(x) = - \cos x = \sin(x + 3( \frac{\pi}{2} ))$

$f''''(x) = \sin x $

Por lo tanto, podemos decir que

$$ f^{(n)} (x) = \sin \left( x + n \cdot\frac{\pi}{2} \right) $$

Answer 2

Tenemos

$$\left(\sin x\right)^{(k)}=\sin\left( x+k\frac\pi2\right)$$

y recordar que el $\sin$ es la función $2\pi$ periódico.

Answer 3

Tenga en cuenta que $f(x)=\sin x,$

\begin{align} & f'(x)=\cos x\\ & f''(x)=-\sin x\\ & f'''(x)=-\cos x\\ & f^{(4)}(x)=\sin x \end{align}

¿Por qué es importante? Bien, observe que después de tomar la derivada de $\sin x$ cuatro veces, volvemos a $\sin x$ . Por lo tanto, podemos concluir que para $f(x)=\sin x,$

\begin{align} f(x)=f^{(4)}(x)=f^{(8)}(x)=\ldots=f^{(96)}(x)=\sin x \end{align}

Así que dado que $f^{(96)}(x)=\sin x$ entonces $f^{(97)}(x)=\cos x, f^{(98)}(x)=-\sin x, f^{(99)}(x)=-\cos x.$

Si está familiarizado con la integración, también puede observar que $f(x)=\sin x=f^{(100)}(x)$ y así $f^{(99)}(x)=\int\sin x=-\cos x$ .

Answer 4

¿Conoces la aritmética modular? Fíjate en las primeras derivadas,

• $f(x)=\sin(x)$
• $f'(x)=\cos(x)$
• $f''(x)=-\sin(x)$
• $f'''(x)=-\cos(x)$
• $f^{(4)}(x)=\sin(x)$

Por lo tanto, tenemos que

$f^{(n)}(x) = \left\{ \begin{array} \. \sin(x), & n \equiv 0 (\mod 4)\\ \cos(x), & n \equiv 1 (\mod 4)\\ -\sin(x), & n \equiv 2 (\mod 4)\\ - \cos(x), & n \equiv 3 (\mod 4). \end{array} \right.$

Por lo tanto, observe que $99 \div 4=24$ con resto $3$ . Por lo tanto, $f^{(99)}(x)=-\cos(x)$ .

Answer 5

${{d^{4n}}\over{dx^{4n}}}(\sin x)=\sin{x}$
${{d^{4n+1}}\over{dx^{4n+1}}}(\sin x)=\cos{x}$
${{d^{4n+2}}\over{dx^{4n+2}}}(\sin x)=-\sin{x}$
${{d^{4n+3}}\over{dx^{4n+3}}}(\sin x)=-\cos{x}$
Elige la que creas que puede ser útil :-)