¿Es el producto de espacios de Banach un espacio de Banach?

Question

Si $X$ es un espacio de Banach, entonces quiero saber si $X\times X$ también es Banach. ¿Cuál es la norma de ese espacio?

Así, por ejemplo, sabemos que $C^k(\Omega)$ es Banach y tengo un vector $v = (u_1, u_2)$ donde $u_i \in C^k(\Omega)$ y quiero utilizar las propiedades de este vector.

Gracias

Answer 1

Sí, aunque el producto se llama más comúnmente suma directa . Son posibles muchas normas equivalentes; las opciones más comunes son $\lVert(u_1,u_2)\rVert=\lVert u_1\rVert+\lVert u_2\rVert$ y $\lVert(u_1,u_2)\rVert=\max(\lVert u_1\rVert,\lVert u_2\rVert)$ o más generalmente $\lVert(u_1,u_2)\rVert=(\lVert u_1\rVert^p+\lVert u_2\rVert^p)^{1/p}$ para $1\le p<\infty$ .

Answer 2

Sí.

Dejemos que $(X, \lVert - \rVert)$ sea un espacio de Banach. Entonces $X \times X$ es un espacio de Banach bajo la norma $\lVert (x,y) \rVert = \lVert x \rVert + \lVert y \rVert$ .

Prueba : Es fácil comprobar que esto define una norma, así que sólo necesitamos la completitud. Sea $(x_n, y_n)$ sea una sucesión de Cauchy en esta norma. Sea $\varepsilon > 0$ y que $N \in \mathbb{N}$ sea tal que para todo $m,n \ge N$ tenemos

$$\lVert (x_n, y_n) - (x_m, y_m) \rVert < \varepsilon$$

Entonces por la definición de nuestra norma debemos tener también $\lVert x_n - x_m \rVert + \lVert y_n - y_m \rVert < \varepsilon$ y por lo tanto $(x_n)$ y $(y_n)$ son Cauchy en $X$ por lo tanto convergente, y es fácil comprobar que si $x_n \to x$ y $y_n \to y$ entonces $(x_n,y_n) \to (x,y)$ . $\square$

(De hecho, podemos elegir otras normas para $X \times X$ .)

Answer 3

El producto de un número finito de espacios de Banach puede convertirse fácilmente en un espacio de Banach, por ejemplo, sumando las normas o tomando su máximo. Hay más opciones, pero ninguna de ellas es natural, que yo sepa, o preferible.

Una forma mejor de decirlo es, en mi opinión, decir que dicho producto es, de forma natural, un espacio vectorial topológico, que admite una norma completa.