Demostrar una divisibilidad complicada por 8

Question

He tratado de demostrar por inducción que $5^n + 2 * 3^{n + 1} + 1$ , para $n > 0$ .

Mi primer intento fue tratar de demostrar que la diferencia $(5^n + 2 * 3^{n + 1} + 1) - (5^{n + 1} + 2 * 3^{n + 2} + 1)$ es siempre un múltiplo de 8.

Trabajando esta diferencia, he encontrado que la diferencia entre términos consecutivos es $4(5^{n + 1} + 3^n)$ , lo que demuestra que su diferencia es siempre un múltiplo de 4. Podría aislar un 8 en lugar de 4, pero los cálculos internos no serían siempre enteros, lo que creo que no demuestra nada.

¿Algún consejo sobre cómo proceder?

Answer 1

Supongamos que se asume la verdad para $\;n\;$ y ahora quieres mostrar por $\;n+1\;$ :

$$\begin{align*}&5^{n+1}+2\cdot3^{n+2}+1=3\left(5^n+2\cdot3^{n+1}+1\right)+\overbrace{2\cdot5^n-2}^{=2(5^n-1)}=\\{}\\ &=3\left(5^n+2\cdot3^{n+1}+1)+2\cdot(5-1)(5^{n-1}+5^{n-2}+\ldots+5+1\right)\end{align*}$$

y ahora es trivial comprobar que los dos sumandos anteriores son múltiplos de $\;8\;$ ...

Answer 2

dejar $$T_n=5^n+2\cdot3^{n+1}+1$$ y $$T_{n+1}=5^{n+1}+2\cdot 3^{n+1}+1$$ y tenemos $$T_{n+1}-T_n=4(5^n+3^{n+1})$$ y el lado derecho es divisible por $8$ Por lo tanto $$T_{n+1}$$ también es divisible por $8$