¿Es un homomorfismo onto de G a sí mismo un automorfismo

Question

Un homomorfismo de $G$ a sí mismo es un automorfismo si es biyectivo.

Intento que la condición de biyectividad sea más débil. 1-1 no es suficiente porque hay un homomorfismo 1-1 de $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{2Z}$ . ¿Y qué pasa con el onto? Si un homomorfismo de $G$ a sí mismo es onto, entonces ¿es un automorfismo? O, análogamente, si $H$ es un subgrupo normal no trivial de $G$ , puede $G$ y $G/H$ ser isomorfo?

Answer 1

Considere $z\mapsto z^n$ del grupo de números complejos no nulos a sí mismo. Por el teorema fundamental del álgebra es onto. Es decir, cualquier número complejo tiene $n$ raíces. Pero toma el mismo valor en todas $n$ a raíz de la unidad. Así que un grupo infinito cociente de un subgrupo finito PUEDE SER isomorfo a sí mismo.

Answer 2

Si $G$ es finito, sí, pues uno-uno y onto son equivalentes.

Para su última pregunta, $S^1/C_n\simeq S^1$ .