El siguiente es de mi número de la teoría de los libros de texto..
En particular, existe un entero $c$ tal que hay infinitamente muchas soluciones a la ecuación de $x^2 - dy^2 = c$. Dado que sólo hay un número finito de clases modulo $c$, incluso existen infinidad de pares de soluciones congruentes modulo $c$.
¿Por qué la segunda frase verdad? No es muy claro para mí...
Supongo que aquí se desea $d>0$, de lo contrario, esto es claramente falso, como un diophantine problema. Considere la posibilidad de dividir todas las soluciones en conjuntos de soluciones distintas,
$$S_{a,b}\{(x_{i},y_{i})\in\Bbb Z^2 : x_i\equiv a\mod c, y_i\equiv b\mod c\}\qquad 1\le a,b\le c.$$
Claramente todas las soluciones $(x,y)$ a caer en algunas $S_{a,b}$, y desde
$$\bigsqcup_{a,b} S_{a,b}=S$$
es una finito de la unión, una de las $S_{a,b}$ debe ser infinito, por lo tanto el resultado en el problema.
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