Problema en la resolución de una pregunta relacionada con el teorema del Sandwich.

Question

La pregunta es :

Demuestra que por el teorema del Sandwich la secuencia de $\left\{\left(1 + \frac{1}{3n+1}\right)^{3n} \right\}_n$ converge a $e$.

Ahora,lo que he hecho es que el $\left(1 + \frac{1}{3n+1}\right)^{3n} < \left(1 + \frac{1}{3n+1}\right)^{3n+1}$.Pero no puedo construir otra parte de la desigualdad.Así que,por Favor, ayúdame.Gracias de antemano.

Answer 1

Se puede observar que, como $n \to \infty$, $$ \left(1+\frac1{3n+2}\right)^{3n}\le \left(1+\frac1{3n+1}\right)^{3n}\le\left(1+\frac1{3n+1}\right)^{3n+1} $$ or $$ \frac1{\left(1+\frac1{3n+2}\right)^2}\left(1+\frac1{3n+2}\right)^{3n+2}\le \left(1+\frac1{3n+1}\right)^{3n}\le\left(1+\frac1{3n+1}\right)^{3n+1} $$ then conclude with the sandwich theorem, using $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac1{\left(1+\frac1{3n+2}\right)^2}=1$ y el uso de $$ \lim_{N\to \infty}\left(1+\frac{x}{N}\right)^{N}=e^x. $$

Answer 2

Trate de $$ \left(1+\frac{1}{3n+1}\right)^{3n-1} \le \left(1+\frac{1}{3n+1}\right)^{3n}\le \left(1+\frac{1}{3n+1}\right)^{3n+1} $$

tal que $$ \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{3n+1}\right)^{3n+1} = e, $$ y $$ \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{3n+1}\right)^{3n-1} = \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{3n+1}\right)^{3n+1} \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{3n+1}\right)^{-3}=e\1 =e. $$

Answer 3

En primer lugar, podemos escribir el término de interés como

$$\left(1+\frac{1}{3n+1}\right)^{3n}=\left(\left(1+\frac{1}{3n+1}\right)^{3n+1}\right)^{3n/(3n+1)}$$

Luego de señalar que $1-\frac{1}{n}<\frac{3n}{3n+1}<1$, podemos escribir

$$\left(\left(1+\frac{1}{3n+1}\right)^{3n+1}\right)^{1-\frac{1}{n}}\le \left(1+\frac{1}{3n+1}\right)^{3n}\le \left(1+\frac{1}{3n+1}\right)^{3n+1} \tag 1$$

En la medida en la mano izquierda y la mano derecha lados de $(1)$ enfoque de $e$$n\to \infty$, el teorema del sándwich garantiza que

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{3n+1}\right)^{3n}=e}$$

como iba a ser mostrado!