Indicador variable con cajas y bolas

Question

Tenemos 10 bolas azules etiquetadas del 1 al 10 y 10 bolas rojas con las mismas etiquetas y las colocamos al azar en 10 cajas de forma que en cada caja haya una bola azul y otra roja. Halla el número esperado de cajas que tienen bolas azules y rojas con las mismas etiquetas.

En la solución dice que el valor del indicador tiene las propiedades I(0) = 9/10 e I(1)=1/10. E(X)=10*1/10 = 1

Ahora no entiendo por qué, porque yo diría que I(1) = 10*(2C2) / (20C2) ya que tenemos que elegir 2 bolas de 20 y tenemos 10 pares de ellas ({1,1},{2,2},..). Y E(X) 10*I(1). ¿Pero es 1/10 porque tenemos que elegir un par de entre 10? Si es así, por qué podemos decir eso, ya que el número de todas las combinaciones es 20C2.

Answer 1

No se puede decir que hay $20\choose{2}$ posibilidades, ya que se da que cada caja tiene un azul y un rojo. Su $20\choose{2}$ que se puede obtener de las posibilidades de obtener $2$ rojos y $2$ blues. Lo que quieres usando tu camino es $$\frac{10}{{10\choose{1}}\cdot{10\choose{1}}}=\frac{1}{10}$$

donde como mencionó lulu, hay $10$ diferentes resultados favorables, siendo

{ $R_1, B_1$ } { $R_2, B_2$ } $,...,$ { $R_{10},B_{10}$ }

Answer 2

En cada caja tendrás una bola azul con algún número, y una bola roja. La bola roja tendrá el mismo número con una probabilidad marginal de $1/10$ o un número diferente con la probabilidad complementaria ( $9/10$ ).   De ahí viene su variable aleatoria indicadora.

Así que dejemos $I_k$ sea el indicador de que la caja $k$ contiene bolas con la misma etiqueta. Entonces el valor esperado si el indicador de cada caja es el probabilidad marginal para que el indicador sea igual a $1$ (ya que es una variable aleatoria Bernoulli).

$$\mathsf E(I_k)~{=\mathsf P(I_k=1)\\= \tfrac 1{10}}$$

Ahora, lo que buscamos es el esperado recuento de cajas con bolas de la misma etiqueta .   Ese recuento será la suma de los valores de los indicadores, por lo que el recuento esperado es: $$\mathsf E(\sum_{k=1}^{10} I_k)$$

A continuación invocamos la Regla de la Linealidad de la Expectativa que dice: $\mathsf E(\sum_{k=1}^{10} I_k)=\sum_{k=1}^{10}\mathsf E(I_k)$ .   Nótese que no importa que las variables aleatorias indicadoras sean dependientes; la linealidad de la expectativa sigue funcionando.

$$\therefore \mathsf E(\sum_{k=1}^{10} I_k)= 1$$

---

Observación: No estamos seleccionando 10 pares de un montón de 20 bolas, sino emparejamiento cada bola en un conjunto de 10 con una bola en otro conjunto de 10. Para calcular la probabilidad de que $n$ etiquetas coinciden (y las otras no) tenemos que considerar las desviaciones.

Nota: Dado que hay una bola azul en cada caja, podemos etiquetar la caja por la bola azul que esté colocada en ella.   A continuación, sólo tenemos que considerar la disposición de las bolas rojas.

$\binom {10}n$ cuenta la manera de coincidir $n$ de $10$ de las bolas rojas con una bola azul de la misma etiqueta.   $!(10-n)$ es el derangement de $10-n$ objetos ; es decir, el recuento de formas de disponer las bolas rojas restantes de manera que ninguna de ellas coincida con la bola azul de su caja.   $10!$ cuenta el total de formas de disponer las bolas rojas.

$$\mathsf P(\sum_{k=1}^{10} I_k{=}n)= \dfrac{\binom{10}n~!(10-n)}{10!} = \dfrac{!(10-n)}{n!~(10-n)!}\approx\dfrac{1}{n!~e} $$

Utilizar esto para evaluar el valor esperado del recuento sería molesto a mano.   Aunque hoy en día la carga de trabajo puede ser manejada completamente por cálculo,+%7Bn,+0,+10%7D%5D) .