Unicidad de la función de peso.

Question

Sea $L=p(x)\frac{d^2}{dx^2}+q(x)\frac{d}{dx}+r(x).$ Donde L significa operador diferencial. Ahora producto interno definido $(f,g)=\int_a^bf(x)g(x)w(x)dx$ . En $w(x)$ es una función de peso. Ahora $L$ es simétrica con respecto a la función de peso si $(Lu,v)=(u,Lv)$ .

Necesidad de probar si $L=p(x)\frac{d^2}{dx^2}+q(x)\frac{d}{dx}+r(x)$ entonces existe una función de peso, y es única hasta una constante, tal que L es simétrica con respecto a w.

Answer 1

Bueno, primero tienes que hacer un poco de álgebra: Dado que $w > 0$ ,

\begin{align} \langle L u, v \rangle &= \int_a^b \left(p u'' + q u' + r u \right) v w dx \\ &= \int_a^b \left((p w v)'' - (q w v)' + r w v \right) u dx + \mbox{BT}\\ &= \int_a^b \left( p v'' + \left[\frac{2(p w)'}{w}- q\right]v' + \left[\frac{(pw)'' -(qw)'}{w} +r \right]v\right) u w dx + \mbox{BT} \\ \\ &= \langle u, L^\dagger v \rangle + \mbox{BT} \end{align}

Necesitamos que los términos de contorno desaparezcan, lo que tiene que ver con las condiciones de contorno originales para $L$ .

Para $L$ sea simétrica con respecto a $w$ , $L = L^\dagger$ . Por lo tanto

\begin{align} \frac{2(p w)'}{w}- q &= q\\ \frac{(pw)'' -(qw)'}{w} +r &=r \end{align}

La segunda ecuación es redundante de la primera, y la condición se convierte en $$ (p w)' - q w = 0. $$

Esto significa que $w$ debe resolver $$ p w' + (p' - q) w = 0. $$

Si $p' - q = 0$ entonces $w = c$ donde $c$ es una constante es una solución (ya lo sabíamos). Si $p' - q \neq 0$ , $$ \frac{w'}{w} = \frac{p' - q}{p} \qquad \Longrightarrow \qquad w = e^{\int \frac{p' - q}{p} dx} $$

que es positiva y única hasta una constante de integración.

Obsérvese que este resultado sólo es válido en las proximidades de $x$ donde $p(x) \neq 0$ . Los puntos singulares deben tratarse con cuidado.