Función aditivo $f: \mathbb{Z}^\infty \rightarrow \mathbb{Z}$ es cero por todas partes.

Question

Deje $f: \mathbb{Z}^\infty \rightarrow \mathbb{Z}$ ser un aditivo función de ($f(x+y)=f(x)+f(y)$ por cada $x,y \in \mathbb{Z}^\infty$). Además, para cada $x=(0,\dots, 0,1,0, \dots)$ tenemos $f(x)=0$. Demostrar que para cada $x\in \mathbb{Z}^\infty$ tenemos $f(x)=0$.

Conocido (puede ser demostrado que): $$f(1,a,a^2,a^3,\dots) = 0 , \quad \forall 1 < a \in \mathbb{Z} .$$

Answer 1

Una extensa PISTA:

• Mostrar que la hipótesis de que la $f(e_n)=0$ por cada $n\in\Bbb N$ implica que si $x,y\in\Bbb Z^\infty$ difieren en a lo más un número finito de coordenadas, a continuación,$f(x)=f(y)$.

Ahora vamos a $\sigma_a=\langle a^k:k\in\Bbb N\rangle$ donde $1<a\in\Bbb Z^+$. Para cualquier $n\in\Bbb N$ vamos

$$\sigma_a^{(n)}=\langle 0,\ldots,0,a^n,a^{n+1},\ldots\rangle=\sigma_a-\sum_{k<n}a_ke_k\;.$$

• Demostrar que para cada una de las $n\in\Bbb N$ hay una secuencia $\tau\in\Bbb Z^\infty$ tal que $a^n\tau=\sigma_a^{(n)}$. El uso de esta a la conclusión de que la $f(\sigma_a)=0$.

• Demostrar que para cualquier $\tau=\langle t_k:k\in\Bbb N\rangle\in\Bbb Z^\infty$ hay $\lambda=\langle\ell_k:k\in\Bbb N\rangle$ $\mu=\langle m_k:k\in\Bbb N\rangle$ $\Bbb Z^\infty$ tal que $$\begin{align*}\tau&=\left\langle 2^k\ell_k+3^km_k:k\in\Bbb N\right\rangle\\&=\left\langle2^k\ell_k:k\in\Bbb N\right\rangle+\left\langle 3^km_k:k\in\Bbb N\right\rangle\;.\tag{1}\end{align*}$$ usa más bien un número básico de la teoría de la realidad relativamente primer enteros.

• Mostrar que $f$ envía cada una de las secuencias en $(1)$$0$; lo que se hizo en la segunda viñeta debería ayudar a usted aquí.