¿Uno puede deducir la secuencia de tiempo exacta de fibración de la secuencia de tiempo exacta de un par?

Question

Dado que la secuencia siguiente es exacta:

$$\dots \to \pi_{n}(A) \to \pi_{n}(X) \to \pi_{n}(X,A) \to \pi_{n-1}(A) \to\dots$$

Quiero demostrar que, dado un paquete de $p:E \to B$ con fibra de $F$ si tomamos $A:=F$$X:=E$, entonces podemos obtener la larga secuencia exacta de fibration de la declaración anterior.

La intuición de esto viene de mi sospecha de que $p^*:\pi_{n}(E,F) \to \pi_{n}(B)$ es en realidad un isomorfismo. Esto no es riguroso, sólo he convencido a mí mismo con algunos de los dibujos. Los dos puntos siguientes no son tan claras:

$1:$ sería suficiente para garantizar la secuencia exacta de fibration?

$2:$ ¿Cómo podemos considerar inducida por homomorphisms entre relativa y absoluta homotopy?

Pensé que una manera de proceder sería que muestra que la costumbre mapa de $j^*:\pi_{n}(E) \to \pi_{n}(E,F)$ que sólo vistas absoluta esferoides como las relativas seguido por $p^*$ es esencialmente la misma que la de considerar $p_{*}:\pi_{n}(E) \to \pi_{n}(B)$ cual es el mapa inducida por proyección (una conmutativo el diagrama).

Consejos sobre demostrando un isomorfismo en general son bienvenidos.

Answer 1

Esto es exactamente lo que el largo de la secuencia exacta de un fibration se deriva, en algunos libros, como Switzer del texto (capítulo 4). Tal y como lo dijo, tenemos la larga secuencia exacta de los par $(E,F)$ (omitiendo basepoints): $$\cdots\xrightarrow{\ \ \ }\pi_n(F)\xrightarrow{\ i_* \ }\pi_n(E)\xrightarrow{\ j_* \ }\pi_n(E,F)\xrightarrow{\ \partial \ }\pi_{n-1}(F)\xrightarrow{\ i_* \ }\pi_{n-1}(E)\xrightarrow{\ \ \ }\cdots$$ Ahora, su sospecha de que es correcto, de hecho, dada cualquier débiles fibration $p:(E,e_0)\to (B,b_0)$ ($p$ sólo tiene el grupo de alto nivel con respecto a todos los discos), $B'\subseteq B$$E':=p^{-1}(B')$, la inducida por el mapa $$p_*:\pi_n(E,E',e_0)\to\pi_n(B,B',b_0)$$ es un isomorfismo de grupos para $n\geq 2$ y un bijection para $n=1$. Esto es demostrado por inducción en $n$. En particular, para $B'=\{b_0\}$, $E' = p^{-1}(b_0)=F$, la inducida por el mapa $$P_*:\pi_n(E,F,e_0)\to\pi_n(B,\{b_0\},b_0)\cong \pi_n(B,b_0)$$ es un isomorfismo para $n\geq 2$ y un bijection para $n=1$. Aquí $P_*$ es la composición de $p_*$ con el isomorfismo en la final. El isomorfismo $\pi_n(B,\{b_0\},b_0)\cong \pi_n(B,b_0)$ es la forma de llegar desde relativas a absolutas. Por lo tanto, se puede "cortar y pegar" con $P_*$ para obtener: $$\cdots\xrightarrow{\ \ \ }\pi_n(F)\xrightarrow{\ i_* \ }\pi_n(E)\xrightarrow{\ P_*\circ j_* \ }\pi_n(B)\xrightarrow{\ \partial\circ P_*^{-1} \ }\pi_{n-1}(F)\xrightarrow{\ i_* \ }\pi_{n-1}(E)\xrightarrow{\ \ \ }\cdots$$ A partir de aquí, se puede demostrar que los $P_*\circ j_* = p_*$, lo que le da la costumbre largo de la secuencia exacta de un fibration.

La prueba de la isomorfismo $p_*:\pi_n(E,E',e_0)\to\pi_n(B,B',b_0)$ toma un poco de trabajo, así que si quieres una referencia, Switzer cubre todas las anteriormente en el capítulo 4.