Deje $(A,\mathfrak{m})$ ser un local Noetherian dominio de dimensión uno y supongamos que $\mathfrak{m}$ es la directora. Quiero demostrar que todos los no-cero ideal de $A$ es una potencia de $\mathfrak{m}$. He tratado de probar de la siguiente manera y yo estaría muy agradecido si alguien me echa la prueba para mí.
Prueba: hago uso de tres hechos:
En un local Noetherian dominio de dimensión uno, todo correcto, no-cero ideal contiene algunas de alimentación de la máxima ideal.
Artinian = Noetherian de dimensión cero.
En un local Artinian anillo con el director de la máxima ideal, cada no-cero ideal es una potencia de la máxima ideal.
Deje $\mathfrak{a}$ ser un no-cero ideal de $A$. Si $\mathfrak{a}=A$,$\mathfrak{a}=\mathfrak{m}^0$, por lo que podemos suponer que la $\mathfrak{a}$ es adecuado. Por el hecho 1, tenemos $\mathfrak{m}^n\subset\mathfrak{a}$ algunos $n\geq 2$. Deje $q:A\to A/\mathfrak{m}^n$ (surjective) cociente homomorphism y deje $\mathfrak{M}=q(\mathfrak{m})$. Observar que $\mathfrak{m}^2\neq\mathfrak{m}$, de lo contrario tendríamos $\mathfrak{m}=(0)$ por Nakayama. Como primer ideales de $A$ corresponden exactamente con el primer ideales de $A/\mathfrak{m}^n$ contiene $\mathfrak{m}^n$ vemos que $A/\mathfrak{m}^n$ tiene un único primer ideal, es decir, $\mathfrak{M}\neq 0$ (no-cero como $\mathfrak{m}^2\neq\mathfrak{m}$), por lo que es un anillo local (con ideal maximal $\mathfrak{M}\,$). Por el hecho 2, se deduce que el $A/\mathfrak{m}^n$ es Artinian. Por otra parte, desde la $\mathfrak{m}$ que es lo principal, así que es $\mathfrak{M}$. Por lo tanto, por el hecho 3, tenemos que todos los ideales de a $A/\mathfrak{m}^n$ es una potencia de $\mathfrak{M}$; en particular, $q(\mathfrak{a})=\mathfrak{M}^r$ algunos $r \in \mathbb{N}$$\mathfrak{a}=\mathfrak{m}^r$. Q. E. D.
Muchas gracias!
