Encontrar los valores de $m$ en el 2º grado de la ecuación de $(3m-2)x^2+2mx+3m=0$, por lo que sólo tiene una raíz entre -1 y 0,

Question

Estoy mirando el siguiente problema:

Encontrar todos los valores de $m$ para el cual la ecuación de $(3m-2)x^2 + 2mx + 3m = 0$ shas sólo una raíz entre el$-1$$0$.

No sé lo que sólo una raíz entre -1 y 0 significa en realidad. Puedo contar con estas posibilidades:

1. $-1<x_1=x_2<0$
2. $x_1<-1<x_2<0$
3. $-1<x_1<0<x_2$

Vamos $a=3m-2$, $\Delta$ ser el discriminante, y $S/2$ $x$- coordenadas del vértice ($S/2 = -m/(3m-2)$) y también la media aritmética de las raíces $(x_1+x_2)/2$.

Condiciones para resolver 1 solo sería: $af(-1)<0$, $af(0)<0$ y $\Delta \geq 0$

Condiciones para resolver los 2 solos serían: $af(-1)<0$, $af(0)>0$, $\Delta>0$ y $S/2<0$

Condiciones para resolver 3 solo sería:

$af(-1)>0$, $af(0)<0$, $\Delta>0$, y $S/2>-1$

A continuación, también podría significar que es todas las condiciones interceptó $ 1 \cap 2 \cap 3$ o sólo $2 \cap 3$.

¿Qué estoy haciendo mal? la respuesta correcta a este problema, que según el libro es $0<m<1/2$

PS.: Aunque esta pregunta ya fue respondida correctamente, me gustaría ver cómo utilizar los teoremas que me traían, y el libro como bien, para solucionar esto. Preguntas de resolución de cualquier forma o de otra siempre es bienvenida y útil, lo que sin duda debe ser hecho. Sin embargo, el propósito del libro no es un general de matemáticas desafío, es la intención de enseñar a los teoremas y elementos a aplicar. Así que si puedo, voy a tratar también:

Voy a poner los teoremas aquí porque nadie parece saber qué teoremas me estoy refiriendo a:

Si $f(x)=ax^2+bx+c$ presenta dos raíces reales $x_1 \leq x_2$ $ \alpha $ es el número real que serán comparados con los de $x_1$$x_2$, tenemos:

• $af(\alpha)<0 \implies x_1 < \alpha <x_2$.
• $af(\alpha)=0 \implies \alpha$ es una de las raíces.

• Si $af(\alpha)>0$$\Delta \geq 0$, luego

  (a) $\alpha <x_1 \leq x_2$ si $\alpha < S/2$;

  (b) $x_1 \leq x_2 < \alpha$ si $\alpha > S/2$

Hay dos situaciones en este problema: $-1<x_1<0<x_2$$x_1<-1<x_2<0$.

I. $$-1<x_1<0<x_2 \implies af(-1)>0 \wedge af(0)<0 \wedge \Delta > 0 \wedge S/2 > -1.$$ \begin{align*} af(-1)>0 &\implies (3m-2)[(3m-2)(-1)^2+2m(-1)+3m]>0\\ &\implies (3m-2)(4m-2)>0 \implies 12m^2-14m+4>0\\ &\implies m<1/2\text{ or }m>2/3.\\ af(0)<0 &\implies (3m-2)[(3m-2)0^2+2m0+3m]<0 \\ &\implies 9m^2-6m\lt 0 \implies 0\lt m\lt 2/3.\\ \Delta \gt 0 &\implies (2m)^2-4(3m-2)3m\gt 0 \implies 4m^2-12m(3m-2)\gt 0\\ &\implies 4m^2-36m^2+24\gt 0 \implies -32m^2+24\gt 0 \implies 0 \lt m \lt 3/4.\\ S/2\gt -1 &\implies -b/2a\gt -1 \implies -m/(3m-2) \gt -1\\ &\implies (-m+3m-2)/(3m-2) \gt 0 \implies (2m-2)/(3m-2) \gt 0\\ &\implies m \lt 2/3 \text{ or } m \gt 1. \end{align*}

$$(af(-1) \gt 0) \wedge (af(0) \lt 0) \wedge (\Delta \gt 0) \wedge (S/2 \gt -1) \implies 0 \lt m \lt 1/2.$$

II. $$x_1<-1<x_2<0 \implies af(-1)<0 \wedge af(0)>0 \wedge \Delta > 0 \wedge S/2<0.$$ \begin{align*} af(-1)<0 &\implies 1/2 \lt m \lt 2/3.\\ af(0)>0 &\implies m \lt 0\text{ or }m \gt 2/3.\\ \Delta \gt 0 &\implies 0 \lt m \lt 3/4.\\ S/2 \lt 0 &\implies -b/2a<0 \implies -m/(3m-2)<0 \\ &\implies m \lt 0 \text{ or }m \gt 2/3. \end{align*}

$(af(-1)<0 \wedge af(0)>0 \wedge \Delta \gt 0 \wedge S/2 \lt 0) = \emptyset$

Como tanto el conjunto de soluciones posibles respuestas, no exclusory, creo que la respuesta es unir los dos conjuntos: $I \cup II = (0 \lt m \lt 1/2) \cup \emptyset = 0 \lt m \lt 1/2$.

La respuesta Final $0 \lt m \lt 1/2$.

Answer 1

SUGERENCIA $\rm\ \ 0\ >\ f(-1)\ f(0)\ =\ 3\:m\:(4m-2)\ \iff\ a < m < b\ $ $\rm\ a = \ldots,\ b = \ldots$

Answer 2

Algunas sugerencias... Si $ax^2 + bx + c$ es cualquier cuadrática con $a \neq 0$, es una parábola (posiblemente al revés). El centro de la parábola es en $x = -{b \over 2a}$, correspondiente a $x = {m \over 2 - 3m}$ en su caso. Así que si ${m \over 2 - 3m}$ se encuentra fuera del rango de $(-1,0)$, entonces la función es monótona en $[-1,0]$. Como resultado de ello tiene exactamente una raíz en $(-1,0)$ si y sólo si uno de $f(0)$ $f(-1)$ es positivo y uno negativo.

Si $-1 < {m \over 2 - 3m} < 0$ por otro lado, a continuación, su función es monótona de $-1$ ${m \over 2 - 3m}$y también la monotonía de${m \over 2 - 3m}$$0$. Tan sólo tienes que mirar los signos de $f(-1)$, $f({m \over 2 - 3m})$, y $f(0)$ y considerar las diversas posibilidades.

Answer 3

Definamos $f( x)$ $f( x ) = (3m - 2){x^2} + 2mx + 3m.$

Ya no debe ser sólo una solución de la equatin, por lo tanto $$(D = 0) \Rightarrow 4m^2 - 12m(3m - 2) = 0\quad {\text{ (i)}}$$

La segunda ecuación se $f'\left( x \right) = 0$ porque $f\left( x \right)$ tiene valor extremo en el punto de $( {x,0} ) \Rightarrow 2(3m - 2)x + 2m = 0$ (ii)

Si queremos resolver la ecuación (i), llegamos a la ${m}_1 = 0$ $m_2= \frac{3}{4}$

si sustituimos estos valores en la ecuación (ii) por ${m_1} \Rightarrow {x_1} = 0$ ${m_2} \Rightarrow {x_2} = \frac{3}{5}$

Así, la única solución que satisface las dos condiciones de la pregunta es ${m_1} = 0 $