hay una simple caracterización de cuando compacto conjuntos son cerrados?

Question

En la distancia Euclídea espacios compactos conjuntos son siempre cerradas.

Esto no es cierto en general de los espacios topológicos. Podemos caracterizar cuando es posible?

Es cierto para la métrica de los espacios?

Answer 1

Como menciona Juan en los comentarios, en Hausdorff (T₂) espacios, compacto subconjuntos son siempre cerradas.

Supongamos $X$ es Hausdorff, y $K \subseteq X$ es compacto. Para mostrar que $K$ es cerrado, no es suficiente para mostrar que $X \setminus K$ está abierto; es decir, mostrar que cada una de las $x \in X \setminus K$ ha abierto un barrio de $U$$U \subseteq X \setminus K$. Así que, dado que $x \in X \setminus K$, por Hausdorffness para cada una de las $y \in K$ no son disjuntas abrir neighbbourhoods $U_y , V_y$$x,y$, respectivamente. Claramente $\{ V_y : y \in K \}$ es una cubierta abierta de a $K$, y por tanto, hay un número finito de $y_1 , \ldots , y_n \in K$ tal que $K \subseteq V_{y_1} \cup \cdots \cup V{y_n}$. No es demasiado difícil mostrar que $U = U_{y_1} \cap \cdots \cap U_{y_n}$ tiene la propiedad deseada.

Como métrica de espacios de Hausdorff, se deduce que el compacto de subconjuntos de métrica espacios están cerrados.

Un espacio en el que cada subconjunto compacto es cerrado se llama un KC espacio. Es fácil mostrar que cada KC espacio T₁ (ya que los subconjuntos finitos son siempre compacto, en un KC espacio de todos los subconjuntos finitos están cerrados, lo que es equivalente a ser T₁). Así que tienen implicaciones $$\text{T}_2 \Longrightarrow \text{KC} \Longrightarrow \text{T}_1.$$ Sin embargo ninguna de estas flechas inversa.

Ejemplo 1. Deje $X$ ser un innumerable conjunto con la co-contable de la topología (es decir, el abierto de los conjuntos de $\varnothing$ y todos los $A \subseteq X$ tal que $X \setminus A$ es contable). Ya que cada dos vacío abierto conjuntos tienen intersección no vacía, se deduce que el $X$ no T₂. Tenga en cuenta que $X$ es claramente T₁. Supongamos que $A \subseteq X$ es infinito. Tomando un countably infinito subconjunto $A_0 = \{ a_i : i \in \mathbb{N} \} \subseteq A$, tenga en cuenta que para cada una de las $n$ el conjunto $U_n = X \setminus \{ a_i : i \neq n \}$ está abierto. Claramente $A \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty U_n$, sin embargo como $U_n \cap A_0 = \{ a_n \}$ por cada $n$ se sigue que no finito subcolección (de hecho, no hay una buena subcolección) de la $U_n$ cubre $A$. Por lo tanto el único compacto subconjuntos son los subconjuntos finitos, que están cerradas. Por lo tanto, $X$ es un KC espacio.

Ejemplo 2. Deje $X$ ser un conjunto infinito con la co-finito topología (es decir, el abierto de los conjuntos de $\varnothing$ y todos los $A \subseteq X$ tal que $X \setminus A$ es finito). Ya que cada subconjunto finito es cerrado, se sigue que $X$ es T₁. Sin embargo cada subconjunto de $X$ es compacto: dado cualquier vacío de la familia $\mathcal{U}$ de vacío abrir los subconjuntos de a $X$, recogiendo $U \in \mathcal{U}$ $X \setminus U$ es finito sólo necesitamos tomar un número finito de más $V_1 , \ldots , V_n \in \mathcal{U}$, de modo que $U \cup V_1 \cup \cdots \cup V_n = \bigcup \mathcal{U}$. Como cualquier correcta infinito subconjunto de $X$ no está cerrado, $X$ no es un KC espacio.