Cubiertas abiertas de $\mathbb{R}$

Question

Si en cada número racional tomamos una bola abierta de tamaño constante (es decir, el radio de la bola es el mismo para todos los números racionales) entonces parece que todas estas bolas abiertas cubren $\mathbb{R}$ es decir $\cup_{i=1}^\infty B(x_i,r) \supset \mathbb{R}$ (donde $r > 0$ y $x_i$ son racionales).

Si el radio no es constante sino arbitrario, ¿las bolas abiertas resultantes siguen cubriendo $\mathbb{R}$ es decir, ¿es cierto que $\cup_{i=1}^\infty B(x_i,r_i) \supset \mathbb{R}$ (donde $r_i > 0$ )?

En general, ¿es cierto lo anterior para cualquier espacio métrico separable?

Gracias, Phanindra

Answer 1

No. Por ejemplo, si se enumeran los racionales $r_1,r_2,\ldots$ y elegir el diámetro del $i^{\rm th}$ balón para ser $\le 2^{-(i+1)}$ entonces la medida de la unión de las bolas no superará $1/2$ . El complemento de la unión debe ser entonces no vacío.

Aún más fácil, fijar un número irracional $p$ . Entonces, para cada número racional $q$ se puede encontrar una bola abierta centrada en $q$ que excluye $p$ . La unión de estas bolas excluirá $p$ también.

O bien, podría considerar una cubierta compuesta por conjuntos de la forma $(n\pi,(n+1)\pi)$ .