Equivalencia lineal de divisores en una superficie

Question

Al estudiar geometría algebraica, aunque la teoría abstracta me resulta bastante clara, a menudo me siento desconcertado en la práctica. Aquí estoy tratando de entender la equivalencia lineal de los divisores en algunas situaciones prácticas. Consideremos el siguiente ejemplo.

Dejemos que $S\subset\Bbb{P}^3$ sea una superficie lisa de grado $d\geq3$ y que $\ell\subset S$ sea una línea. Un plano que contiene $\ell$ recortes en $S$ el divisor $$ H_0=\ell+C$$ donde $C\subset S$ es una curva de grado $d-1$ . Sea $H$ sea el corte del divisor en $S$ por un plano genérico. Así que $H$ cortes $\ell$ en un punto. No estoy seguro de lo siguiente:

Pregunta: por qué podemos decir que $H_0\sim H \ $ (equivalencia lineal) ?

Este es entonces un buen ejemplo para mostrar que incluso el divisor más simple como $\ell$ puede tener una auto-intersección negativa: si $H_0\sim H$ entonces $$1=H\cdot\ell=H_0\cdot\ell=(\ell+C)\cdot\ell=\ell^2+C\cdot\ell=\ell^2+d-1 $$ Por lo tanto, $\ell^2=2-d<0$ .

Answer 1

(Convirtiendo mi comentario en una respuesta...) La cuestión es que la restricción de los divisores respeta la equivalencia lineal (como se deduce rápidamente de la definición). Dos planos cualesquiera en el espacio ambiente $\mathbf{P}^3$ son divisores linealmente equivalentes (¡fácil ejercicio!), por lo que lo mismo sigue siendo cierto cuando los restringimos a la superficie $S$ .