Una propiedad de los espacios de Sobolev

Question

Dejemos que $W^{k,p}(\Omega):=\{y\in L^p(\Omega) : D^{\alpha}y\in L^p(\Omega)$ para todos $|\alpha|\leq k\}$

Ahora quiero demostrarlo:

(1) $u \in W^{1,2}(\mathbb R)$

equivale a

(2) $u \in L^2(\mathbb R)$ y existe $v\in L^2(\mathbb R)$ para todos $\phi(x)\in C^{\infty}_c(\mathbb R)$ tal que

$\int_{\mathbb R}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\phi(x)dx\rightarrow\int_{\mathbb R}v(x)\phi(x)dx$ para $h \rightarrow 0$

En realidad no sé cómo empezar.. Así que cualquier pista que me pueda ayudar es muy apreciada

Answer 1

Esto sólo utiliza la definición de derivada débil. El truco está en notar que si $u,\phi$ son ambos en $L^2(\mathbb R)$ entonces $$ \int_{\mathbb R} \frac{u(x+h) - u(x)}{h} \phi(x) \, dx = \int_{\mathbb R} u(x) \frac{\phi(x-h) - \phi(x)}{h} \, dx \tag{$ \N - El brindis $}.$$

Si (2) se cumple, se puede utilizar el teorema de convergencia dominada y ( $\ast$ ) para ver que $$ \int_{\mathbb R} u(x) \phi'(x) \, dx = - \lim_{h \to 0} \int_{\mathbb R} u(x) \frac{\phi(x-h) - \phi(x)}{h} \, dx = - \int_{\mathbb R} v(x) \phi(x) \, dx.$$ Esto implica que $u' = v$ en sentido débil y por tanto $u \in W^{1,2}(\mathbb R)$ .

Por otro lado, si $u \in W^{1,2}(\Omega)$ y $\phi \in C_c^\infty(\mathbb R)$ entonces $$\int_{\mathbb R} u'(x) \phi(x) \, dx = - \int_{\mathbb R} u(x) \phi'(x) \, dx = \lim_{h \to 0} \int_{\mathbb R} u(x) \frac{\phi(x-h) - \phi(x)}{h} \, dx.$$ En este caso, ( $\ast$ ) implica $$ \int_{\mathbb R} u'(x) \phi(x) \, dx = \lim_{h \to 0} \int_{\mathbb R} \frac{u(x+h) - u(x)}{h} \phi(x) \, dx.$$