Demuestra que la ecuación $ \tan (z)=z$ sólo tiene raíces reales. ¿Cómo hacerlo? La idea es que el incremento del argumento necesita mirar el límite del cuadrado con un lado de $ \pi n$ y otro que $ \tan (z)-z$ tiene un poste en $0$ . No sé cómo usarla.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
timh
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Supongamos que $\tan(x+iy)=x+iy$ . Utilice la expansión $\tan(x+iy)=\frac{\sin2x}{\cos2x+\cosh2y}+i\frac{\sinh 2y}{\cos 2x+\cosh 2y}$ para conseguirlo: $$\frac{1}{\cos2x+\cosh2y}(\sin2x+i \sinh2y)=x+iy .$$
Esto significa que los 2 vectores $(\sin2x,\sinh2y)$ y $(x,y)$ son proporcionales, y por tanto el determinante de la matriz $\begin{pmatrix}x & y \\ \sin2x &\sinh2y \end{pmatrix}=0$ .
Obtenemos $x \sinh2y=y \sin2x$ . Utilizando las conocidas desigualdades $$|\sin t| \leq |t|,|\sinh t| \geq |t|$$ vemos que debemos tener $x=0$ o $y=0$ (esto es cierto porque la igualdad se mantiene en las desigualdades anteriores si $t=0$ ).
El caso $y=0$ da las soluciones reales deseadas, y un pequeño cálculo muestra que el caso $x=0$ da la única solución imaginaria, a saber $z=0$ .
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Hola, ¡bienvenido a MSE! Creo que tu pregunta está atrayendo downvotes porque no está claro qué es lo que preguntas. Además, muchos usuarios esperarían que incluyeras alguna indicación de lo que has intentado hasta ahora para resolver el problema, incluso un simple "no sé por dónde empezar" sería mejor que nada.
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@Tom Oldfield ,Ok)He editado)
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Un método utiliza el teorema de Rouche. Consideremos las funciones $g(z) = z$ y $h(z) = -\tan z$ y el rectángulo con vértices $\pm \pi \; \pm \; \pi i.$
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Y ¿qué debo hacer después?...porque no puedo resolverlo exactamente( @Dave L.Renfro
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Si tienes que utilizar el teorema de Rouche, puedes encontrarlo elaborado en las páginas 255-256 del volumen 1 del texto de Einar Hille Teoría de las funciones analíticas (1973).