Mostrar que todas las infinitas dimensiones normativa espacio vectorial $E$ tienen una densa hyperplane.

Question

Mostrar que todas las infinitas dimensiones normativa espacio vectorial $E$ tienen una densa hyperplane.

Sugerencia: Considere el $\beta$ una conveniente base de Hamel $E$, $S=\mathrm{span}\left\{v_{0},v_{1},\ldots,v_{n},\ldots\right\}$ una contables subconjunto de $\beta$ y deje $H=\mathrm{span}\left[\left(\beta\setminus S\right)\cup \left\{\frac{1}{n}v_{n}+v_{0}\:;\:n\geq 1\right\}\right]$.

Comentario: no he sido capaz de construir una conveniente base de Hamel. Mi intento fue, primero, construir $S$ como una densa, linealmente independientes y enumerable, entonces a extender $S$ a una base de Hamel $E$, pero mis intentos no han tenido éxito.

Answer 1

Nadie construye una base de Hamel, en un infinito espacio tridimensional. De su existencia, por el lema de Zorn. Por "conveniente" la sugerencia significa que cada elemento de a $\beta$ norma $1$, lo cual se logra mediante la adopción de cualquier base de Hamel y la normalización de sus elementos.

Desde el núcleo de una desenfrenada funcional es densa, es suficiente para mostrar que hay un funcional $f$. Para este fin, dejando $f(v_n)=n$, y también el dejar de $f(v)=0$$v\in\beta\setminus S$, y se extiende por la linealidad, la iba a funcionar.

El hyperplane $H$ descrito en la sugerencia surge de esta manera si uno deja lugar a $f(v_0)=-1$ $f(v_n) = n$ $n\ge 1$ (todavía $f(v)=0$$v\in\beta\setminus S$). Me resulta un poco más trabajo que hacerlo de esta manera, si uno tiene que demostrar que $H$ es un hyperplane (es decir, la puesta a cero de un funcional lineal) de todos modos.

Pero en el caso de que quieras hacerlo de esta manera, se observa que la

• $v_0\notin H$, por lo tanto $H$ es un buen subespacio;
• si $v_0$ se añade al conjunto que abarcan $H$, el nuevo conjunto abarca a todos los de $\beta$, por lo tanto todos los de $H$. Por lo tanto, $H$ es de codimension $1$.