Intersección del elipsoide y hyperplane, la desigualdad de la cadena.

Question

Si $S$ es un elipsoide en $\mathbb{R}^n$ centrada en el origen, entonces, en adecuado coordenadas ortonormales $x_1, \dots, x_n$ en $\mathbb{R}^n$, $S$ puede ser definida por la desigualdad$$\sum_{j = 1}^n a_j x_j^2 \le 1,$$where$$0 < a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n$$are uniquely determined by $S$. Let $H$ denote a hyperplane in $\mathbb{R}^n$ passing through the origin; then $S \cap H$ is an ellipsoid in $H$, and $H$ is a Euclidean space of dimension $n-1$. Hence $S \cap H$ determines a sequence of coefficients$$0 < b_1 \le b_2 \le \dots \le b_{n-1}.$$What is the easiest way to see that$$a_1 \le b_1 \le a_2 \le b_2 \le \dots \le a_{n-1} \le b_{n-1} \le a_n?$$

Answer 1

La intuición

Creo que de intersección $\, S\cap H\,$ como proyección ortogonal de la elipse $\,S\,$ en hyperplane $\,H.\,$

• Proyección operador es inyectiva, lo que significa que el diámetro de la proyección es siempre menor o igual al diámetro del conjunto original. Por lo tanto llegamos a la conclusión de que para cualquier coeficiente de desigualdad de la proyección de $\, S\cap H\, $ hay un mayor coeficiente de desigualdad de la original elipsoide $\, S.\, $
• Por otro lado, proyectando hyperplane reduce la dimensión de la figura geométrica. El uso de este hecho que nos puede mostrar que para cualquier coeficiente de desigualdad de la $\,S\cap H\,$ habrá un cierto número de menores coeficientes de desigualdad de la $\,S.\,$
• Por encima de los hechos combinado con el principio del palomar resultado en $\,a_1 \le b_1 \le \dots \le a_{n-1} \le b_{n-1} \le a_n.\,$

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Prueba

Permítanos reescribir elipsoide de las desigualdades en términos de semi-eje principal se $\, \alpha_i:=a_i^{-1/2}\,$ $\, \beta_i : = b_i^{-1/2}\,$ $$ \a la izquierda. \begin{aligned} S &= \left\lbrace x = \left[ \begin{smallmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{smallmatrix} \right] \in \mathbb R^n \, \bigg\vert \; \ \sum_{j = 1}^n a_j x_j^2 \le 1 \right\rbrace && = \left\lbrace x \in \mathbb R^n \, \bigg\vert \; \ \sum_{j = 1}^n \left( \frac{x_j}{\alpha_j} \right)^2 \le 1 \right\rbrace \\ S\tapa de H &=\left\lbrace x = \left[ \begin{smallmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_{n-1} \end{smallmatrix} \right] \H \subseteq \mathbb R^{n-1} \, \bigg\vert \;\ \sum_{j = 1}^{n-1} b_j x_j^2 \le 1 \right\rbrace && = \left\lbrace x \in H^{\phantom{n}} \, \bigg\vert \; \ \sum_{j = 1}^{n-1}\left( \frac{x_j}{\beta_j} \right)^2 \le 1 \right\rbrace \end{aligned} \right. $$ Los coeficientes de $\,\alpha_i\,$ igual a la semi-eje principal se $\,\vec{\boldsymbol{v}}_i\,$ de la elipse $\,S\,$ y puede ser definida de forma iterativa:

• $\, E_1 : = \mathbb R^n \,$ Euclidiana subespacio,
• $\, S_1 := S\,$ original de la elipse en $\,\mathbb R^n\,$
• $\displaystyle\,\vec{\boldsymbol{v}}_1: = \left\lbrace \overrightarrow{UV} \; \ \Big\vert \; \ \ \max_{U,V \in S} \left\|V - U \right\|\right\rbrace\,$ – vector que conecta dos de los más distantes puntos de la elipse $\,S.\,$
• $\, \alpha_1 := \left\| \vec{\boldsymbol{v}}_1 \right\|\,$ diámetro de la elipse $\,S\,$ $%\,\vec{\boldsymbol{e}}_{1}:=\dfrac{\vec{\boldsymbol{v}}_1}{\left\| \vec{\boldsymbol{v}}_1 \right\|} = \dfrac{\vec{\boldsymbol{v}}_1}{\alpha_1}\,$

Para $\, j=2, \dots, n\,$ calcular

• $\, E_j := E_{j-1} \ominus \left\lbrace \vec{\boldsymbol{v}}_{j-1} \right\rbrace\,$ complemento ortogonal del espacio de $\,\vec{\boldsymbol{v}}_{j-1}\,$ $\, E_{j-1} \,$
• $\, S_j:= S_{j-1}\cap E_{j}\,$ proyección de la elipse $\,S_{j-1}\,$ sobre el espacio Euclidiano $\, E_{j-1} = \mathbb R^{n-j+1}.\,$
• $\, \vec{\boldsymbol{v}}_j\,$ vector que conecta dos de los más distantes puntos de la elipse $\,S_j.\,$
• $\, \alpha_j:= \left\| \vec{\boldsymbol{v}}_j \right\|\,$ diámetro de $\,S_{j}\,$

Mediante la sustitución de elipses $\, S_j\,$ con sus proyecciones a hyperplane $\,h\,$ podemos definir los coeficientes de $\,\beta_i\,$ en la desigualdad de la $\,S\cap H.\,$

Límite Superior

Tenga en cuenta que el coeficiente de $\,\alpha_j\,$ puede ser visto como el tamaño de elipsoide a lo largo de la dirección de $\,j^{\,\text{th}}$ unidad de la base de vectores $\,\vec{\boldsymbol{e}}_{j},\,$ es decir, como un tamaño de proyección ortogonal de a$\, S\,$$\vec{\boldsymbol{e}}_{j}$.

La intersección $\,S\cap H\,$ de elipsoide y hyperplane es también una proyección ortogonal de a $\,S\,$ a $\,H,\,$ es decir $\,S\cap H = P_H S\,$ donde $\,P_H\,$ es el operador de la proyección de su argumento en hyperplane $\,H.\,$ Desde la proyección ortogonal es inyectiva, el tamaño de la intersección $\,S\cap H\,$ a lo largo de $\,\vec{\boldsymbol{e}}_{j}\,$ es siempre menor o igual que el diámetro de la original elipsoide $\,S.\,$ Por lo tanto, para cualquier $ j=1, \dots, n-1,\,$ existe $\, i = 1 , \dots, n\,$ tal que $\,\beta_j \le \alpha_i.\,$

Límite Inferior

Vamos a mostrar ahora que para cualquier $\, \beta_j, \ j = 1, \dots, n-1,\,$ existe $\, n-1\,$ coeficientes de $\,\alpha_j\,$, que es menor o igual a $\,\beta_j.\,$ Suponga $\,\vec{\boldsymbol{v}}_1\,$ es el más pequeño semi-eje principal de $\,S\,$ del tamaño de la $\,\alpha_1.\,$ Considere siguientes casos posibles:

1. $\,\vec{\boldsymbol{v}}_1 \cap H = \vec{\boldsymbol{v}}_1 \implies \vec{\boldsymbol{v}}_1 \in H\,$ – el más pequeño semi-eje principal de $\,S\,$ se encuentra en su totalidad en hyperplane.
   Proyección de no tener afectan a los más pequeños semi-eje principal de la elipse, por lo que el $\,\alpha_1 = \beta_1.\,$
2. $\,\vec{\boldsymbol{v}}_1 \cap H \neq \vec{\boldsymbol{v}}_1 \implies \vec{\boldsymbol{v}}_1 \not \in S\cap H,\,$ es decir $\,\vec{\boldsymbol{v}}_1\,$ es no el más pequeño semi-eje principal de la proyección de la elipse $\,S\cap H.\,$ Pero entonces el más pequeño semi-eje principal de $\,S\cap H.\,$ será mayor o igual a$\,\vec{\boldsymbol{v}}_1,\,$, de modo que $\, \alpha_1 \le \beta_1.\,$
3. Para combinar los resultados de dos pasos anteriores, llegamos a la conclusión de que $\, \bbox[3pt, border:1pt solid #001100]{\alpha_1 \le \beta_1.}\,$

Podemos repetir el procedimiento anterior de forma iterativa para mostrar que para cualquier coeficiente de $\,\beta_j, \ j=1,\dots, n-1,\,$ de las proyecciones de la elipse $\,S\cap H\,$ existen al menos $\, j-1\,$ coeficientes de $\,\alpha_1, \dots, \alpha_{j-1}\,$ original de la elipse $\,S\,$ menos que o igual a $\,\alpha_j.\,$ $$ \forall j=1,\dots, n-1, \ \exists \,\alpha_1, \dots, \alpha_{n-j} \, : \quad \bbox[5pt, borde:1 pt solid #000000]{\beta_j \ge \alpha_{j-1} \ge \cdots \ge \alpha_1} $$

El uso de Dirichlet del principio tenemos $$ \bbox[3pt, borde:2 pt solid #F90000]{\alpha_1 \le \beta_1 \le \alpha_2 \le \beta_2 \le \dots \le \alpha_{n-1} \le \beta_{n-1} \le \alpha_n} $$

Sustituyendo de nuevo en la expresión del coeficiente de $\, a_i = 1/ \alpha_i^2, \ b_i = 1/ \beta_i^2\,$ y revertir la enumeración tenemos $$ \bbox[3pt, borde:2 pt solid #F90000]{a_1 \le b_1 \le a_2 \le b_2 \le \cdots \le a_{n-1} \le b_{n-1} \le a_n} $$

Q. E. D.