Si $f$ es Lebesgue integrable en $[0,2]$ $\int_E fdx=0$ para todo conjunto medible E tal que $m(E)=\pi/2$. Probar o refutar que $f=0$.e.

Question

Deje $f$ ser un Lebesgue integrable de la función en $[0,2]$. Si $\int_E fdx=0$ para todo conjunto medible $E$, de tal manera que $m(E)=\pi/2$. Es$f=0$.e. Demostrar o refutar

No pude averiguar nada. Puede una función muy oscilatoria para que en cada intervalo de su integral es cero?

Cualquier sugerencia y el enfoque son bienvenidos.

Answer 1

Sugerencia: deje $A$ $B$ ser lo suficientemente pequeño (digamos $m(A)=m(B)<0.001$). Entonces existe $C$ disjunta de a $A \cup B$ tal que $m(C)=\pi/2 - m(A)$. Utilizando sus condiciones en $A \cup C$ $B \cup C$ muestran que $\int_Afdm=\int_Bfdm$. Ahora considere los conjuntos de positividad y negatividad de $f$. Mostrar, que si uno o ambos de ellos tienen medida cero está hecho. Muestran que de lo contrario se contradicen el argumento de la anterior