Deje $f: X \rightarrow Y$ ser una de morfismos de, digamos, a nivel local noetherian esquemas. Supongamos que $f$ es localmente finito (que es para cada abierto afín subconjunto $U= spec A$$Y$, $f^{-1}(U)$ pueden ser cubiertos por abrir afín subconjuntos $V_i=spec B_i$ tal que cada una de las $B_i$ es un finitely generadas $A$-módulo), y cuasi-compacto (así que en el anterior, se puede asumir que hay un número finito de $V_i$ abovecovering $f^{-1}(U)$). A continuación, implica que el $f$ es finito? Yo no creo que eso sea cierto, pero me gustaría un contra-ejemplo (o si es cierto, una prueba o referencia). Gracias.
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YequalsX
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Esto no es cierto, porque no están asumiendo que $f$ está separado. E. g. deje $Y$ ser afín a la línea, vamos a $X$ ser afín a la línea con un doble origen, $X \to Y$ no es afín (no separados), en particular, no finito, pero es localmente finito y q.c.
Sin embargo, localmente finito q.c. morfismos son cuasi-finito y cerrado. Podemos comprobar este locallly en el destino, y así podemos reemplazado $Y$$U$$X$$f^{-1}(U)$, y, por tanto, asumir que $Y$ es afín. También vamos a escribir $V$ para la inconexión de la unión de la $V_i$ cubriendo $X$.
Luego tenemos la factorización $V \to X \to Y$, la primera de morfismos ser surjective, y el compuesto de un ser finito. Los morfismos $X \to Y$ es entonces cuasi-finito y cerrado. (La primera propiedad es clara, y la segunda propiedad se deduce del hecho de que la imagen de un conjunto cerrado en $X$ es también la imagen de su preimagen en $V$ (por surjectivity de $V \to X$), y esta última imagen está cerrado, desde finito morfismos están cerrados).
Ahora se localmente finito y cuasi-compacto es invariante bajo la base de cambio, y por tanto localmente finito y cuasi-compacto de morfismos es tanto cuasi-finito y universalmente cerrado. Si es que además separados, entonces es cuasi-finito y adecuada, por lo tanto, finito.
Así, la declaración es verdadera si se supone que $f$ es también separados.
