Integración por partes con una integral predefinida

Question

Dada es una función $f(x)$ cuya integral indefinida $F(x)=\intop f(x)dx$ es conocido. Quiero resolver para $$ \intop xf(x)dx .$$

Quiero aplicar la integración por partes. La expresiónw es equivalente a $\int u\,dv$ con $$ u=x, \ \ \ dv=f(x)dx $$ lo que implica $$ du=dx, \ \ \ v=F(x)dx. $$

Ahora, cuando se resuelve consigo $$ \intop xf(x)dx = x F(x) - F(x) $$ lo cual es incorrecto. ¿Puede alguien decir en qué sentido estoy utilizando mal integratino por partes aquí?

Answer 1

La norma dice

$$\int uv' dx = uv - \int u'v dx$$

que en su caso se traduce en

$$\int xf(x)dx = x F(x) - \int 1\cdot F(x)dx$$

por lo que casi estabas en lo cierto, pero todavía hay una integral en el lado derecho de la ecuación.

Answer 2

La fórmula de integración por partes es $$\int u dv = u v - \int v du$$ y te faltó la integral en ese segundo término de la derecha.

Answer 3

Podrías probar la diferenciación bajo el signo integral:

$$\frac d{dt}\int F(xt)\ dx\bigg|_{t=1}=\int xf(x)\ dx$$

Así que tendrás que resolver $\int F(x)\ dx$ para continuar.