La singularidad de la Transformación de Laplace

Question

Hoy en día, cuando me estaba haciendo un poco de Inversa de Laplace de la transformación en la clase, me encontré con el siguiente problema citado en Zill del libro:

La inversa de Laplace de la transformación no puede ser única. En los Problemas 29 y 30 de evaluar $\mathscr{L}\{f(t)\}$.

29. $f(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \quad t\ge0,~ t\ne1, t\ne2 \\ 3, & \quad t=1 \\ 4, & \quad t=2 \\ \end{array} \right.$

30. $f(t) = \left\{ \begin{array}{ll} \text{e}^{3t}, & \quad t\ge0,~ t\ne 5, \\ 1, & \quad t=5 \end{array} \right.$

Yo lo hice, pero no me había preguntado cómo explicar a los estudiantes si ellos me preguntan acerca de los criterios para la singularidad. Creo que se basa en el análisis funcional, sin embargo, soy débil en esta área. ¿Hay alguna manera más fácil de explicar la singularidad de segundo año los estudiantes de posgrado? Gracias por su tiempo.

Answer 1

El problema aquí es la continuidad, dado que normalmente no puede esperar para recuperar el comportamiento de una función en un punto que no es un punto de continuidad de una transformación integral. Si usted se considera continuo de las funciones que el decaimiento lo suficientemente rápido (por ejemplo, subexponentially descomposición de funciones), entonces usted puede probar la unicidad con bastante facilidad por un cálculo estándar. Por ejemplo, ver aquí.