Prueba con las cuerdas de un círculo

Question

En una circunferencia con centro $O$ , tres acordes $\overline{AB},\overline{AD}$ y $\overline{CB}$ de manera que los dos últimos se cruzan en $E$ . Demostrar que $AE·AD+BE·BC=AB^2 $ .
Añadido : $O\in\overline{AB}$ .

Hola, he estado intentando resolver este problema con la potencia de un punto respecto a una circunferencia y con pitágoras, pero parece que no voy a ninguna parte:

$2(AB)^2=AD^2+BD^2+BC^2+AC^2$

Espero que pueda darme una pista. Gracias

Edición: Teniendo en cuenta lo que mencionó Blue:

Answer 1

Ibas por buen camino. Encontraste que $$2 \cdot AB^2 = AD^2 + BD^2 + BC^2 + AC^2.$$ Pero quieres algo con $AD \cdot AE,$ no $AD^2,$ que no quieres ver $BD^2,$ y así sucesivamente. Pero fíjese que $AC^2 = AE^2 - CE^2$ y $BD^2 = BE^2 - DE^2,$ y también $AD = AE + DE$ y $BC = BE + CE.$ Así que esto sugiere que podrías poner todo en el lado derecho en términos de $AE,$ $BE,$ $CE,$ y $DE.$

Así que la pista es, haz eso, y luego ve si puedes juntar las piezas para hacer $2 \cdot AD \cdot AE + 2 \cdot BC \cdot BE.$ Si llegas hasta ahí, puedes completar fácilmente la prueba.