por qué holomorphic función de $f$ no se extiende continuamente a su límite tal que $f(z)=1/z$?

Question

Demostrar que no existe ninguna holomorphic función de $f$ en la unidad de disco $\Bbb{D}$ que se extiende continuamente a $\partial \Bbb{D}$ tal que $$f(z)=\frac{1}{z}$$ for $z \in \parcial \Bbb{D}$.

donde $\Bbb{D}=\{z\in \Bbb{C} : |z|<1\}$

Answer 1

Asumir una extensión existe, entonces

Solución 1:Definir $g(z)=zf(z),$ por el valor medio de la propiedad de holomorphic funciones

$$0=g(0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(e^{it}) dt = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} 1 \,dt = 1$$

lo cual es una contradicción.

Solución 2: Tenemos $|f(z)|=1$ $S^1.$ Desde $f$ es continua en el límite $\partial \overline{D}=S^1$, entonces, por un máximo del módulo de principio, que alcanza su máximo en el límite $S^1.$ ($f$ no es constante.) En consecuencia, $f(D) \subseteq D.$ WLOG asumir que $f(0)=0$, por lo tanto, por el lema de Schwarz $f(z)=az$ donde $|a|=1.$ por otra parte, debemos tener $az=1/z$$S^1$, $a.1=1/1 \rightarrow a=1$$ai=1/i=-i \rightarrow a=-1.$, por tanto, una contradicción.