La desigualdad se cumple para un finito dimensional grupo de representaciones, en general, y no tiene nada que ver con ninguna propiedad especial de el grupo lineal general.
Deje $G$ ser cualquier grupo y $0 \to N \to V \overset{f}{\longrightarrow} W \to 0$ ser una breve secuencia exacta de finito dimensionales $KG$--módulos. Entonces
$0 \to N^G \to V^G \overset{f}{\longrightarrow} W^G$, pero $V^G \overset{f}{\longrightarrow} W^G$ no es necesariamente surjective. Por lo $\dim V^G \le \dim N^G + \dim W^G$, con la igualdad, precisamente, al $V^G \overset{f}{\longrightarrow} W^G$ es surjective.
Edit: Ejemplo de fracaso de surjectivity: Vamos a hacer un ejemplo con el campo de $K = \mathbb R$$G = (\mathbb R, +)$. Tome $V = \mathbb R^2$, y deje $G$ acto por $\phi(t) = \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Deje $N = \mathbb R e_1$. Compruebe $N = V^G$. Deje $W = V/N = \mathbb R (e_2 + N)$. Compruebe $W = W^G$. Tenemos
$0 \to N \to V \overset{f}{\longrightarrow} W \to 0$ donde $f: V \to V/N = W$ es el cociente mapa. Tenga en cuenta que
$f(V^G) = (0) \ne W^G$.
Convertir esto en un ejemplo con $G = \operatorname{GL}_1(\mathbb R)$, teniendo
$ s \mapsto \phi(\log(s^2))$.
No es una fantasía de la terminología relacionada con este. $V \mapsto V^G$ es un functor. Este functor es la izquierda exacto , pero no exacto.
