Organizar $m$ de personas en $m+r$ asientos alrededor de una mesa redonda.

Question

La respuesta es, según el libro: $(m-1)!\cdot \binom{m+r-1}{r}$
Yo por qué esto es cierto. Organizar $m$ de la gente en sus asientos en $(m-1)!$ formas y, a continuación, poner a $r$ espacios vacíos entre ellos.

Yo estaba pensando - elija $m$ escaños de $m+r$ para poner a las personas en => $\binom{m+r}{m}$
Organizar con ellos una vez que hayas elegido el de escaños $\to (m-1)!$
Así, en total: $\binom{m+r}{m} \cdot (m-1)!$

Obviamente, esto no es cierto. ¿Qué hay de malo con la forma en que estoy pensando?

Answer 1

Con su forma, más de la cuenta. Si un grupo de $m$ asientos que usted elija, en la mesa, es una versión rotada de otro grupo de $m$, entonces usted puede conseguir el mismo orden, con sólo girar.

Answer 2

Parece asientos son idénticos.

Así, en primer lugar a la persona como cualquier asiento. esto actuará como un punto de referencia. Esto sólo puede ser hecho de una manera. A continuación, asiento restante $(m-1)$ de las personas en el resto de los $(m+r-1)$ asientos y esto se puede hacer en $\dbinom{m+r-1}{m-1}$ maneras. Teniendo en cuenta los arreglos, se multiplican con $(m-1)!$.

Así,

$\dbinom{m+r-1}{m-1} \times (m-1)!$ formas

Este es el mismo como la respuesta dada en el libro porque

$\dbinom{m+r-1}{m-1}(m-1)!=\dbinom{m+r-1}{r}(m-1)!$