Al lanzar un dado justo 4 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener una secuencia creciente de números?

Question

Juego: Tiro un dado 4 veces. Cuál es la probabilidad de que obtenga una secuencia de números estrictamente creciente.

Mi idea inicial es la siguiente: condicionamos a que R1 (la primera tirada) sea un 1, 2 o 3 (lo que ocurre con probabilidad 1/2).

Ahora, miramos a R2: hay una probabilidad de 1/6 de que R1 = R2 y una probabilidad de 5/6 de que R2 sea diferente de R1. En el caso de que R2 no sea igual a R1, por simetría obtenemos que R2>R1 con una probabilidad de 1/2. Por tanto, la probabilidad de que R2>R1 es de 5/12.

Continuando de la misma manera...

Hay una probabilidad de 2/6 de que R3 sea igual a R1 o R2. Por lo tanto, hay una probabilidad de 4/6 de que sea diferente. Utilizando el mismo argumento anterior, hay una probabilidad de 1/6 de que R3 > R2 > R1. Continuando de forma similar,

P(R4 > R3 > R2 > R1) = (1/2) * (5/12) * (4/36) * (3/144)

Sin embargo, tengo la sensación de que estoy haciendo algo terriblemente mal. Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Es necesario que todos sean diferentes (lo que ocurre con la probabilidad $\frac{5\cdot 4 \cdot 3}{6^3}$ ), y dado esto, necesitas que salgan en el orden exacto, lo cual tiene probabilidad $\frac{1}{4!}$ . En total, pues: $$ P(R_1<R_2<R_3<R_4) = \frac{5\cdot 4 \cdot 3}{6^3\cdot 4!} = \frac{5}{2\cdot 6^3}\approx 0.01157 $$

Answer 2

Pista: obtener una secuencia estrictamente creciente de $\, \,$ 4 números es lo mismo que calcular el número de subconjuntos con $\,4\,$ elementos que un conjunto con $\,6\,$ elementos tiene: siempre que tenga tal $\,4$ -subconjunto se tiene una secuencia creciente, y diferentes subconjuntos se fijan a diferentes secuencias crecientes.

¿Puedes llevarlo ahora desde aquí?