Este es un grupo de orden 18.

Question

Tengo la siguiente pregunta de la tarea:

Un grupo de la orden de 18 años tiene el siguiente carácter parcial de la tabla, donde $y=-\frac{1}{2} + xi$:

\begin{array}{c | c c c c c} \hline\hline & g_1 & g_2 & g_3 & g_4 & \dots \\ \hline \chi_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \dots \\ \chi_2 & 1 & y & 1 & 1 & \dots \\ \chi_3 & 1 & 1 & 1 & -1 & \dots \\ \chi_4 & 2 & 2 & -1 & 0 & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \hline \end{array}

Somos los primeros pide calcular lo que es. Sé que debe ser un m-ésima raíz de 1, por lo $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$, pero no puedo ver cómo discernir lo que es. Nos pide calcular cinco nuevos caracteres irreducibles de a forman un conjunto completo de irreductible de los personajes, que me han hecho ($\chi_5 = \chi_2 \chi_3, \; \chi_6 = \chi_2 \chi_2, \; \chi_7 = \chi_2 \chi_5, \; \chi_8 = \chi_2 \chi_4, \; \chi_9 = \chi_6 \chi_4$) y por tanto, hay 9 clases conjugacy en $G$. Por último, se nos pide completar la tabla de caracteres, dado que el carácter de los valores de $\chi_4$ son reales. He rellenado las cuatro primeras columnas de los próximos cinco filas. He continuación, argumenta que puesto que y es complejo, $g_2 ^{-1} \not\in g_2 ^G$, y por lo $g_2 ^{-1} \in g_5 ^G$, dicen, con $\chi_i(g_5) = \overline{\chi_i(g_2)}$. Creo que ahora puedo continuar usando la columna de las relaciones, pero creo que probablemente puede obtener más información antes de tener a la fuerza bruta que

Consejos/sugerencias, por favor?

Answer 1

Se han deducido que todos los personajes son de la forma$\chi_2^i \chi_j$$j \in \{1,3,4\}$. De igual modo uno tiene una expresión para las clases conjugacy: $g_2^i g_j$$j \in \{1,3,4\}$. Desde $\chi_j(g_2) = \chi_j(1)$, tenemos una bonita relación multiplicativa $(\chi_2^i\chi_j)( g_2^{i'} g_{j'} ) = \chi_2(g_2)^{ii'} \chi_j(g_{j'})$.

En otras palabras, la plaza de la sub-tabla con los índices de $\{1,3,4\} \times \{1,3,4\}$ junto con la tabla de $\chi_2^{i}(g_2^{i'})$ es suficiente. El grupo es simplemente el producto directo de los grupos $\langle g_2 \rangle$ $\langle g_3, g_4 \rangle^G$

Usted puede comprobar directamente cada una de las $g_2^i g_j$ son no conjugada, ya que tienen valores distintos para al menos un carácter.