Cohomology de una órbita espacial

Question

Deje $T^n = (S^1)^n$ $n$- toro y $G = (\mathbb{Z}_2)^n$ ser producto de $n$ copias de el grupo de orden $2$. Considere la posibilidad de la acción de la $G$ $T^n$ inducida por el antipodal de acción de las componentes.

El cómputo de la cohomology $H^*(T^n/G;\mathbb{Z}_2)$, estoy tentado a decir que $T^n/G \cong (S^1/\mathbb{Z}_2)^n$ ya que la acción pasa de las componentes, pero no estoy seguro de si eso es correcto. También, estoy tratando de evitar un Espectral de secuencias de argumento, pero si hay una solución de esa manera será útil para futuros cálculos.

Answer 1

Su tentación es correcta. Si dos elementos de la $T^n$ están relacionados por un elemento de a $G$, lo que significa que en cada una de las coordenadas que están relacionados con un elemento de $\mathbb{Z}_2$. Para una órbita de $G$ se compone de sólo un producto de las órbitas de $\mathbb{Z}_2$ sobre cada componente. Esto le da un bijection $f:T^n/G\to (S^1/\mathbb{Z}_2)^n$ que se ve fácilmente ser continua en el uso de la característica universal de $T^n/G$. Desde $T^n/G$ es compacto y $(S^1/\mathbb{Z}_2)^n$, se puede concluir que $f$ es un homeomorphism.

Desde $S^1/\mathbb{Z}_2\cong S^1$, esto significa que $T^n/G\cong T^n$, por lo que se acaba de tomar la cohomology de $T^n$.