Los grupos de $[\Sigma^nX,Y]$ versus el homotopy grupos

Question

Si $X,Y$ señaló espacios, denotan por $[X,Y]$ la punta de la homotopy clases de punta mapas de $X\to Y$.

Los conjuntos de $[\Sigma^nX,Y]$ tienen la estructura de un grupo para $n\geq 1$. Aquí $\Sigma$ indica reducción de la suspensión.

Si tomamos $X=S^0$, a continuación, estos grupos son isomorfos a $\pi_n(Y)$. Así que los grupos anteriores generalizar la homotopy grupos.

Son los grupos de $[\Sigma^nX,Y]$ (que no son homotopy grupos) estudió activamente? Cuánto nueva información que dan a los que homotopy grupos no?

Un resultado que es algo relacionado con la cuestión es Whitehead del teorema. De alguna manera se dice que bajo ciertas hipótesis, podemos deducir que un mapa es un homotopy equivalencia sabiendo que induce un isomorfismo en homotopy grupos, por lo que para este propósito la información dada por el homotopy grupos es suficiente (teniendo en cuenta que tenemos un mapa entre los agradables espacios).

Pero, ¿y si en realidad no tenemos un mapa entre los espacios? ¿Qué pasa si ellos no tienen la homotopy tipo de un CW complejo?

Answer 1

Sí, se están estudiando activamente, porque a la gente acerca de la homotopy tipo de asignación de espacios (que es lo que son: informática, como Zhen Lin dice en los comentarios). Por ejemplo, si usted toma el $Y$ a ser un Eilenberg-MacLane espacio, a continuación, usted está de computación de la cohomology de $X$.