El uso de wolfram Mathematica ,he observado un interesante y sorprendente propiedad sobre números primos y q de la serie que yo no podía probar.Sin embargo, existe una fuerte evidencia que la respalda. Yo sería feliz si alguien puede encontrar un contra-ejemplo.Por otro lado,si podría llegar a ser cierto,sería, sin duda, sorprendentes consecuencias en el primer número de la teoría.
Deje $p$ ser impar el primer y $$\frac{1}{(q;q^4)_{\infty}^p}=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(1-q^{4n+1})^p}=1+\sum_{n=1}^{\infty} \phi(n)\,q^n$$
con la convención habitual $$(a;q)_{\infty}=\prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^{k})$$
$$\phi(n)\equiv 0\pmod{p}$$ is true for all natural numbers $\{1,2,3,\puntos\}$ except at multiples of $p$. Por ejemplo,
$$\frac{1}{(q;q^4)_{\infty}^3}=1 + 3q +6q^2 + \color{brown}{10}q^3 + 15q^4 + 24q^5+ \color{brown}{37}q^6+\dots$$
$$\frac{1}{(q;q^4)_{\infty}^5}=1 + 5q +15q^2 + 35q^3 + 70q^4 + \color{brown}{131}q^5+ 235q^6+405q^7+\dots$$
Nota: $\phi(n)$ es sólo una notación que eligió como una cuestión de gusto personal. ¿Se puede probar la conjetura o más bien verificar por métodos numéricos,gracias de antemano.
