¿Existe una buena forma de medir la suavidad de una serie temporal en R? Por ejemplo,
-1, -0.8, -0.6, -0.4, -0.2, 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0es mucho más suave que
-1, 0.8, -0.6, 0.4, -0.2, 0, 0.2, -0.4, 0.6, -0.8, 1.0aunque tengan la misma media y desviación estándar. Estaría bien que hubiera una función que me diera una puntuación suave sobre una serie temporal.
La desviación estándar de las diferencias le dará una estimación aproximada de la suavidad:
x <- c(-1, -0.8, -0.6, -0.4, -0.2, 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0)
y <- c(-1, 0.8, -0.6, 0.4, -0.2, 0, 0.2, -0.4, 0.6, -0.8, 1.0)
sd(diff(x))
sd(diff(y))Actualización: Como señala Cyan, eso da una medida dependiente de la escala. Una medida similar independiente de la escala utilizaría el coeficiente de variación en lugar de la desviación estándar:
sd(diff(x))/abs(mean(diff(x)))
sd(diff(y))/abs(mean(diff(y)))En ambos casos, los valores pequeños corresponden a series más suaves.
Esa puntuación no es invariable en la escala, lo que puede tener sentido o no dependiendo de la aplicación. (Y mi propia sugerencia es invariante de la escala, por lo que la misma preocupación se aplica a ella). Además, vale la pena señalar que para la puntuación anterior, los valores más pequeños indican series temporales más suaves.
¿Realmente tiene la intención de incluir diff en los denominadores? Los valores se reducirían algebraicamente a (x[n]-x[1])/(n-1) que es una medida (burda) de la tendencia y debería, en muchos casos, estar muy cerca de cero, lo que da lugar a una estadística inestable y no muy significativa. Esto me desconcierta, pero quizá esté pasando por alto algo obvio...
El lag-uno autocorrelación servirá como puntuación y también tiene una interpretación estadística razonablemente sencilla.
cor(x[-length(x)],x[-1])Interpretación de la puntuación:
Para estimar la rugosidad de un conjunto, tome la diferencia al cuadrado de las diferencias normalizadas y divídala por 4. Esto le da independencia de la escala (debido a la normalización), e ignora las tendencias (debido al uso de la segunda diferencia).
firstD = diff(x)
normFirstD = (firstD - mean(firstD)) / sd(firstD)
roughness = (diff(normFirstD) ** 2) / 4Cero será la suavidad perfecta, 1 es la rugosidad máxima.
A continuación, se utiliza la suma de esta medida o su media, dependiendo de si se desea que la medida de rugosidad sea independiente de la longitud.
Creo que esto puede ser lo mismo que una respuesta anterior en otro lugar:
Y cosas similares se discuten en fuentes académicas como este y este diciendo que debemos integrar la segunda derivada al cuadrado.
No leo álgebra, así que no estoy seguro de que lo que sugiero sea lo mismo que cualquiera de estos.
Podrías simplemente comprobar la correlación con el número de pasos de tiempo. Eso equivaldría a tomar el R² de una simple regresión lineal sobre las series temporales. Sin embargo, hay que tener en cuenta que se trata de dos series temporales muy diferentes, así que no sé qué tan bien funciona eso como comparación.
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La suavidad tiene un significado bien definido en la teoría de los procesos estocásticos. ("Un variograma es una descripción cuantitativa, basada en la estadística, de la rugosidad de una superficie": goldensoftware.com/variogramaTutorial.pdf , p. 16.) La suavidad está relacionada con la extrapolación del variograma a la distancia cero. (La SD de las diferencias sucesivas y la autocorrelación del lag uno son versiones rápidas y sucias de esto). La información esencial está contenida en los coeficientes de la serie de Taylor en 0. Por ejemplo, una constante distinta de cero es realmente áspera; un cero de alto orden en 0 indica una serie muy suave.
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He oído hablar de hurst exponentes también.
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Qué curioso, yo también me he preguntado exactamente lo mismo. ¡Gracias por publicarlo!
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@whuber: eso es una respuesta, no un comentario.
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@naught101 Siento discrepar: mi comentario es a propósito de una situación relacionada y se refiere sólo al proceso teórico utilizado para modelar datos espaciales, no a cómo se haría en realidad estimación esa suavidad. Hay un arte para esa estimación con el que estoy familiarizado en múltiples dimensiones, pero no en una, que es especial (debido a la dirección de la flecha del tiempo), por lo que dudo en afirmar que aplicar los procedimientos multidimensionales a las series temporales sea en absoluto convencional o incluso un buen enfoque.
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@whiner: es una decisión justa. Mis conocimientos son limitados, pero una búsqueda en la web me dice que un variograma en una dimensión es un correlograma (o su equivalente), que apoya algo parecido a la respuesta de cyan. No veo realmente cómo la direccionalidad afecta a la suavidad - seguramente una onda en diente de sierra es tan (des)suave como un diente de sierra inverso...
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