Probar que : $\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d+f+g}+\frac{c+d+e+f}{c+d+e+f+b+g}>\frac{e+f+a+b}{e+f+a+b+d+g}$

Question

Demostrar la desigualdad de números positivos: $$\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d+f+g}+\frac{c+d+e+f}{c+d+e+f+b+g}>\frac{e+f+a+b}{e+f+a+b+d+g}$$

Mi trabajo hasta el momento:

Lema: Si $x>y>0, t>z>0$, $$\frac{x}{x+z}>\frac y{y+t}.$$

Prueba. Realmente, $\frac zx< \frac ty\Rightarrow \frac{x+z}x<\frac{t+y}y.$

Answer 1

En primer lugar, vamos a escribir el lado izquierdo de la desigualdad como:

$L(c)=\dfrac{c+A}{c+B}+\dfrac{c+D}{c+E}$,

la derivada de $L(c)$ es:

$L'(c)=\dfrac{B-A}{(c+B)^2}+\dfrac{E-D}{(c+E)^2}$,

que siempre es positivo para $c\geq 0$, debido a $B>A$$E>D$. Por lo tanto, L(c) es creciente para$c\geq 0$, $L(c)>L(0)$$c\geq 0$, es decir,

$\dfrac{a+b+c+d}{a+b+c+d+f+g}+\dfrac{c+d+e+f}{c+d+e+f+b+g}>\dfrac{a+b+d}{a+b+d+f+g}+\dfrac{d+e+f}{d+e+f+b+g}$ $\cdots (1)$.

Ahora, trabajando con el lado derecho de la desigualdad,

$\dfrac{e+f+a+b}{e+f+a+b+d+g}=\dfrac{a+b}{e+f+a+b+d+g}+\dfrac{e+f}{e+f+a+b+d+g}$ $\cdots (2)$,

y por la condición positiva en los números, no es difícil probar que el primer término en $(1)$ es mayor que el primer término en $(2)$, y que lo mismo sucede con el segundo término de $(1)$$(2)$. Por lo tanto, es demostrada.