Derivada es una constante

Question

Una función $f:U\subset\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$, $U$ abra, es diferenciable en a $p \in U$ si existe una transformación lineal $T:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ tal que $f(p+v)=f(p)+T(v)+R(v)$ donde $R(v)$ satisface $lim _{v\rightarrow 0}\dfrac{R(v)}{|v|}=0$, para todos los $v\in\mathbb{R}^n$$p+v\in U$.

Dicho esto, si $f$ como es arriba es diferenciable y $f'(x)=T$, $\forall x\in\mathbb{R}^n$. Necesito mostrar que hay un $a\in\mathbb{R}^n$ tal que $f(x)=Tx+a$.

El problema que estoy teniendo es, ¿cómo puedo demostrar que $R(v)=0$ todos los $v$?

Answer 1

Deje $g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ ser definido por la regla de $g(x)=Tx+a$ todos los $x\in\mathbb{R}^n$ y deje $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ ser una función derivable tal que $f'(x)=T$ todos los $x\in\mathbb{R}^n$.

Si $h=f-g$, luego de demostrar que $h'(x)=0$ todos los $x\in\mathbb{R}^n$. Por último, demostrar que esto implica $h(x)=c$ todos los $x\in\mathbb{R}^n$ y algunos $c\in\mathbb{R}^m$.

Answer 2

Tenga en cuenta que $a=f(0)$.

Puesto que la derivada de $x\mapsto Tx+a$ $T$ y la derivada es lineal, todo lo que tiene para mostrar es que una función con cero de la derivada es constante. Esto se puede hacer mediante el uso del Valor medio Teorema sobre las funciones de los componentes de $f$.