Lo que se sabe acerca de las secuencias de $a_{n}$ tal que $\sum_{n=1}^{N}(-1)^{a_{n}}n = 0$?

Question

La pregunta que me estoy preguntando es, ¿cuántas secuencias de $a_{n}$ satisfacer la desigualdad para un determinado $N$. Claramente el número es aún debido a la simetría del problema. Tampoco hay soluciones para $N\equiv 1 \mod 4$ o $N\equiv 2 \mod 4$ desde el número de la primera $N$ números naturales es extraño en estos casos (no se puede reducir a la mitad la cantidad en un positivo y negativo set).

Así, por ejemplo:

$N=3\Longrightarrow$ $$1 + 2 - 3=0 \quad\quad -1 - 2 + 3=0$$ $N=4\Longrightarrow$ $$+1 - 2 - 3 +4=0 \quad\quad -1 + 2 + 3 -4=0$$ $N=5\Longrightarrow$ $$\text{No solutions.}$$ $N=6\Longrightarrow$ $$\text{No solutions.}$$ $N=7\Longrightarrow$ $$\geq 4 \,\,\text{cases, don't want to write them out.}$$

Answer 1

Supongo que dejamos $a_n = \{0, 1\}$ o más el número de soluciones es, obviamente, infinito.

El número de diferentes $a_n$ es igual al número de los diferentes subconjuntos de a$\{1, \dots, n\}$, que se suma a $\frac{1}{4}n(n+1)$. Como te has dado cuenta, esto sólo es posible cuando se $n \bmod 4 \in \{0, 3\}$.

Este es también el equivalente al número de particiones de enteros de $\frac{1}{4}n(n+1)$ donde cada parte es distinta y en la mayoría de las $n$. Por suerte, esto tiene una simple generación de forma de la función:

$$[z^{n(n+1)/4}]\prod_{k=1}^n(1 + z^k)$$ Esto le da a los valores iniciales:

$$2, 2, 0, 0, 8, 14, 0, 0, 70, 124, 0, 0, 722, 1314$$

Lo que conduce a la correcta OEIS secuencia: A063865.